球の頂上からすべり下りる問題

「高校物理の発想の基本」
「運動ベクトルに、そのベクトルの方向に垂直なベクトルを加え続けると、
運動ベクトルの方向が変わるが、運動ベクトルの大きさは変わらない」という定理があります。

この定理は、「遠心力の法則」とも呼ばれています。

そして「運動ベクトルの方向に垂直なベクトルを加え続ける」ということは、運動方向に垂直な力を加えるということです。

この定理は、物理の問題で活躍します。

この定理を証明するのは簡単ではありませんので、
この定理を使う必要がある問題が出たら、この定理を使う問題だと悟って、
遠心力の定理を使えるようになってください。

遠心力の定理を適用しないでその問題を解こうとすると、結局は遠心力の定理の証明をする作業が必要になって、多くの時間を使うことになってしまいますから、、、

　この定理の練習問題を以下に示します。

【問題】
　上図のように、質量Ｍの物体を、半径がｒで摩擦力が０の球面の頂上Ａ点の近くから下にすべり落とす場合を考えます。
　その際に、その質量Ｍの物体が球面に接する位置と球の中心を結ぶ線が鉛直線から角度θを成す位置まで下りて来た位置で球面から受ける抗力の大きさ ｆ を計算しなさい。

【解答】
　この物体Ｍに加わる力の総和の力（Ｅ）を計算します。
その力Ｅは、球の中心を向く成分Ｅ_ｃを持つはずです。
　なぜなら、物体Ｍは球面に沿って運動しますので、球面の位置によって、球面に平行な運動の方向が異なるからです。
そのように運動方向が異なるのは、球面の中心に向かって物体を引っ張る遠心力（の逆の力：糸の張力等）が働くから運動方向が変わるのです。

　運動の方向が球面に沿って変わる問題ですので、この問題は遠心力の問題です。
くれぐれも、遠心力の公式を使い忘れることのないように注意して、この問題を解きます。

遠心力Ｅ_ｃは、遠心力の法則で、上図の式のように、物体Ｍの速度と球の半径ｒとであらわせます。
一方、その遠心力は、物体Ｍの引力の、球の中心に向かう成分（ｃｏｓθ）から、球面から物体を押す抗力ｆを引き算した力でもあります。

　これらから、球面から物体を押す抗力ｆが、遠心力と、物体Ｍの引力の球の中心に向かう成分（ｃｏｓθ）であらわせました。
　この力を以下の式のように変形します。
物体の運動エネルギーが高さｈの位置エネルギーであらわせることを利用して式を変形します。

こうして、上式で、求める抗力ｆが角度θの関数であらわせました。

　なお、この抗力ｆが０になる位置で、物体Ｍは球から離れて、そのまま空中を落下します。

【リンク】
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