「場の古典論」マックスウェルの方程式の第２の組

電磁場のラグランジュアン
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【場の古典論】
【第４章】場の方程式
《第３０節》マックスウェルの方程式の第２の組
　最小作用の原理を用いて電磁場の方程式を求めるには、電荷を持つ粒子の運動は与えられたものと仮定し、電磁場だけを、つまり、電磁ポテンシャルＡi だけを変化させなければならない。他方、運動方程式を求めるためには、電磁場を与えらえたものとして、粒子の軌跡を変化させた。
したがって、以下の作用積分（粒子がｎ個あり、粒子毎に異なる電荷がある）

の第１項のmcdsはゼロであり、第２項ではＡidxi のdxi を変化させてはならない。このようにして、最小作用の原理を上記の式に適用する。
（なお、上記の式では表示の簡単化のために、ｎ個の粒子の各世界点の４元ベクトルｘi に付けるべき粒子番号の添え字ｎを省略している）

　「場の古典論」では、作用積分の領域の時間的境界面に、場の４元ポテンシャルＡiを固定している。最小作用の原理を適用するイメージとして、下図のx,y,z,tの４次元空間（ｚ軸は図示しない）内の粒子１と粒子２と、電磁場の４元ポテンシャルAi とを考える。

　 この４次元空間の時間軸方向の大きさは、時間軸方向での最初の時刻と最後の時刻との間の時間Δｔの大きさを持つ。この４次元空間の３次元空間座標軸方向の大きさは、時間軸方向の大きさΔｔの光速度 c 倍のｃΔｔよりも十分に大きく、ほぼ無限遠に至るまで大きくする。電磁場は光速度で伝わるので、電荷の存在する領域から光速度で達する領域よりも外の領域には場の４元ポテンシャルが存在しない。すなわち、４次元空間の３次元空間座標軸方向の十分に遠方の端では場の４元ポテンシャルAi が存在しない。そのような４次元的な直方体の領域を考える。
　その４次元的な直方体の時間軸方向での４次元的な境界面（与えられた最初の時刻での３次元空間と、Δｔ後の最後の時刻での３次元空間）に、粒子の世界点a1,b1,a2,b2が固定されている。また、電磁場の４元ポテンシャルＡi が固定されている。 　
　粒子１について世界点a1から世界点b1まで作用積分し、粒子２について世界点a2から世界点b2まで作用積分する。あらゆる粒子について、同様に作用積分する。電磁場の４元ポテンシャルＡiを微分して電磁場テンソルＦik を計算して、それを使って電磁場のスカラーを求める。そして、上図の４次元的な直方体内の電磁場のスカラーを積分して電磁場の作用積分を求める。
　それらの作用積分の総体の値が最小になるように、粒子１の軌跡と粒子２の軌跡と、電磁場の４元ポテンシャルＡiの各時刻と各位置における値を定める。

　作用積分SおよびラグランジュアンＬをあらわす式を、電磁ポテンシャルＡi とその微分との関数で作った。その作用積分Ｓの変分δＳが以下の式で計算できる。なお、以下の式では、表示を簡単化するため、ｎ個の粒子毎の電荷を表す記号ｅに付けるべき粒子番号の添え字ｎを省略してあらわす。またｎ個の粒子の世界点の４元ベクトルｘi に付けるべき粒子番号の添え字ｎを省略してあらわす。

次に、第２項の添え字のｉとｋを入れ替える。

さらに、第２項のＦkiを-Fikでおきかえる。

次に、第２の積分を部分積分する。 つまりガウスの定理を適用する。

この式で、ガウスの定理で面積積分した第２項については、４次元的直方体の積分の限界である４次元的境界面での値を入れなければならない。

先ず、第２項での４次元的境界面のうち、３次元座標の積分の限界である、ほぼ無限遠方の境界面の位置では、電磁場はゼロである。次に、第２項での４次元的境界面のうち、時間方向の積分の限界の境界面、すなわち、与えられた最初の時刻の３次元空間と最後の時刻の３次元空間においては、電磁場の４元ポテンシャルＡi がその４次元的境界面（３次元空間）に固定されている。そのため、その時間方向の４次元的境界面（３次元空間）では、Ａiの変分δＡi がゼロである。
その結果、第２項が消えて以下の式になる。

ここで、この式の第１項を、第２８節で求めた電流密度ベクトルを用いた以下の式におきかえる。

この電流密度ベクトルは以下の式であらわされる。

作用積分Ｓの変分δＳは以下の式に整理できる。

最小作用の原理による変分δＡi は任意であるから、δＡi の係数をゼロに等しいとおかなければならない：

添え字i が１から４の４つの方程式が、４次元形式にあらわされたマックスウェルの方程式の第２の組である。それらを３次元形式に表わそう。i=1の第１式は

この式は、続くi=2, i=3 の２つの式と合わせて１つのベクトル方程式に書くことができる。

最後に、i=0 の第４の方程式は

になる。
　これらのベクトル表示で書かれた方程式は、マックスウェルの方程式の第２の組である。
　以上のように電流密度分布と電磁場テンソルの成分が関係付けられたのは、作用積分の項に、電磁場の存在に係る作用積分の項Ｓf を加えたことで、最小作用の原理から、電磁場自身が生成される原因を定める方程式を導出することができた。そして、その方程式は、電磁場が電流密度あるいは電荷によって生成されるということをあらわしている。
　電荷が、先行して存在する電磁場の影響を受ける作用があれば、電磁場自身も独立な実体であるとする（作用積分の項Ｓfを加える）ならば、電荷から逆に、電磁場が生み出されるという反作用の解（マックスウェルの方程式の第２の組）が得られた。
　このようにして、電場や磁場は、電流密度ベクトル（電流密度あるいは電荷）によって生じることがわかった。
　特に、注意すべき事は、電場の時間微分で表されている電束電流もまた、（電荷）電流密度ベクトルによって生じることである。

《当ブログの意見》
　最後に、この最小作用の原理から導きだされた方程式の解釈をもう１つ追加する。この解の方程式は、電流密度ベクトルが電磁場テンソルの成分（電磁場）を生じる解釈の他に、逆に、電磁場が電荷を生成すると解釈することができる。その解、すなわち、電磁場が電荷を生じる（電荷の対生成）顕わな解を得るためには、電磁場のラグランジュアンに新たな項を追加する必要があると考える。

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pdf 古典力学 (解析力学)
東京大学数理物理学班「古典力学」
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「場の古典論」電磁場のラグランジュアン

電磁場テンソル
マックスウェルの方程式の第２の組

【場の古典論】
【第４章】場の方程式
《第２７節》電磁場の作用関数
　与えられた電磁場のなかで運動する粒子に対する作用積分は、自由粒子の作用の項と、粒子の電磁場との相互作用の項との２つの部分からなっていた。次に、電磁場の存在に係る作用積分の項、すなわち、電磁場を生み出す源の方程式を導き出すための作用積分の項を加える。
　自由粒子の作用の項と、粒子の電磁場との相互作用の項との２つの部分からなる作用積分は、以下の式であらわされた。

　この作用積分の項は、粒子毎に設けられ、複数の粒子が存在する場合には、これらの項が複数存在する。
　次に、これらの作用積分の項に、電磁場の存在に係る作用積分の項Ｓf を加える。その項Ｓf は、電磁場それ自身の性質のみに依存する、粒子に関係しない作用積分の部分である。この作用積分の項Ｓf は、電磁場自身を決定する方程式を見いだそうというときには不可欠な項である。作用積分の項Ｓf はローレンツ変換によって不変なスカラーでなければならず、したがって、あるスカラー量の積分でなければならない。
　電磁場に対する、この新たな作用積分の項Ｓf の被積分関数のスカラー量の形を決定するために、電磁場の非常に重要なつぎの性質から出発しよう。実験が示すように、電磁場はいわゆる重ね合わせの原理を満足する。この原理の内容は、『１つの粒子の電荷がある電磁場をつくり、他の粒子の電荷が第２の電磁場を作るならば、２つの粒子がいっしょに作る電磁場は、各粒子が個々に作る電磁場を単合成したものである。』 という命題であらわされる。このことは、各点の電磁場の強さは、その点での個々の電磁場のベクトルの和に等しいことを意味する。
　電磁場の方程式の任意の解は、自然に存在することのできる電磁場を与える。重ね合わせの原理によると、任意のそのような電磁場の和もまた、自然に存在しうる電磁場でなければならず、電磁場の方程式を満足しなければならない。
　作用積分の被積分関数であるスカラー量のラグランジュアンＬを微分した形でラグランジュ方程式が計算される。そのラグランジュ方程式において電磁場が記載されることになるであろう。その微分した形のラグランジュ方程式の電磁場の表記が、電磁場が重ね合わせられるように、１次の電磁場であらわされるであろう。ラグランジュ方程式では作用積分Ｓf が微分されることで電磁場の表記の次数が１だけ減ずる。そのため、作用積分Ｓf の被積分関数には電磁場について２次の表式のスカラー量がこなければならない。
　この作用積分Ｓf の被積分関数のスカラー量の表式に電磁ポテンシャルＡi が入ることはできない。なぜなら、電磁場ポテンシャルＡi は一義的にきまらないからである。したがって、作用積分Ｓf は電磁場テンソルＦik のある２次の関数のスカラー量の積分でなければならない。
　電磁場テンソルＦik から作ることのできる、擬スカラーでない２次のスカラー量はただ１つ存在する。それは、

この２つの不変量のうち、擬スカラーでは無い、第１行の式であらわされるスカラー量ＦikＦik である。
　こうして、作用積分Ｓf は以下の式の形をもたなければならない。

ここで、積分は、３次元空間全体と２つの与えられた時刻のあいだの時間にわたってとる。aはある定数である。被積分関数にスカラー量ＦikＦik=2(H²-E²) がくる。ここで、電場Ｅは以下の式であらわされる。

この式のように、電場をあらわす式には、４元ポテンシャルＡi の時間微分を含むが、作用積分Ｓf の被積分関数のなかでは(∂Ai/∂t)² には正の値が掛け合わされなければならない、（したがってE² には正の値が掛け合わされなければならない）ことがたやすくわかる。なぜなら、仮にＳf のなかの(∂Ai/∂t)² に掛け合わされる値が負だとすると、（考えている時間間隔における）電場ポテンシャルＡi の時間的変化が十分急激ならば、つねに(∂Ai/∂t)² の項が任意に大きくなることができ、したがって、Ｓf を任意に大きな絶対値を持つ負の量にすることができるからである。そうなれば、Ｓf は最小作用の原理から要求されている極小値をもつことができなくなる不都合を生じる。したがって、係数ａは負でなければならない。
　ａの値は電磁場の測定に用いる単位のとり方に依存する。ａの値および電磁場の測定の単位を定めてしまったあとでは、他のすべての電磁的な量の測定に対する単位はきまってしまうということに注意しよう。
　すなわち、このａの値の大小によって、電磁場の発生し易さが決まる。次のページの、３０節の解説で説明するように、ある大きさの電流や電荷によって、どれくらいの大きさの電磁場が作り出されるかが、このａの値の大小によって定まることになる。
　以下では、われわれはいわゆるガウスの単位系を用いることにする。この系では、係数ａはディメンジョンなしの量で－1/(16π)に等しい。
　したがって、電磁場に対する作用積分Ｓf は以下の式になる。

よって、電磁場に対するラグランジュアンＬf は以下の式になる。

よって、電磁場に対するラグランジュアンの項Ｌf を加えたラグランジュアンＬは以下の式になる。

作用積分Ｓは以下の式になる。

　最小作用の原理を適用するイメージとして、下図のx,y,z,tの４次元空間（ｚ軸は図示しない）に粒子１と粒子２と、電磁場の４元ポテンシャルAi がある場合を考える。「場の古典論」では、この４次元空間は、３次元の空間座標方向での大きさを、時間方向での最初の時刻と最後の時刻の間の時間ΔTの光速度 c 倍のｃΔＴよりも十分に大きくし、その端の遠方では場の４元ポテンシャルAi が存在しない遠方（ほぼ無限遠）まで広げた４次元空間を考える。

上図のような４次元的な直方体の領域のイメージである。その４次元的な直方体の４次元的な境界面のうち、時間方向での４次元的な境界面（与えられた最初の時刻での３次元空間と、最後の時刻での３次元空間）に、粒子の世界点a1,b1,a2,b2が固定されている。また、電磁場の４元ポテンシャルＡi が固定されている。
　粒子１について世界点a1から世界点b1まで作用積分し、粒子２について世界点a2から世界点b2まで作用積分する。あらゆる粒子について、同様に作用積分する。電磁場の４元ポテンシャルＡiを微分して電磁場テンソルＦik を計算して電磁場のスカラーを求める。そして、上図の４次元的な直方体内の電磁場のスカラーを積分して電磁場の作用積分を求める。
　それらの作用積分の総体の値が最小になるように、粒子１の軌跡と粒子２の軌跡と、電磁場の４元ポテンシャルＡiの各時刻と各位置における値を定める。

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「場の古典論」電磁場テンソル

場の４元ポテンシャル
電磁場のラグランジュアン

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▷運動する電荷のまわりの電界
▷（電荷が増減して見える？）

【場の古典論】
【第３章】場のなかの電荷
《第２３節》電磁場テンソル
　この節では、以下の、４次元的な形に書かれた作用積分：

から直接に、電磁場のなかの粒子の運動方程式を導く。
この作用積分に最小作用の原理を適用する。 

これに、以下の、ローレンツ変換に対して不変なスカラーの微分の式を適用する。

この式を使って上式を以下のように変形する。

ここで、第１項に以下の式を代入する。

ｕiは４元速度の成分である。

そして、被積分関数のなかの項を部分積分すると以下の式になる。

ここで、変分では両端の値がが固定されていて変わらないことを使って式を変形した。さらに、

を使う。

さらに、第３項の添え字のi とk を入れ替える。

δⅹiがどのように変わっても被積分関数が０にならなければならない。そのため以下の式が成り立つ。

そこで、

という記号を導入する。テンソルFikは、ローレンツ変換によって４元ベクトルの積（内積ではない）のように変換される４元テンソルである。
１つずつ計算していくと、以下のように計算できる。


４元テンソルFikの計算結果をまとめると、以下の行列になる。

この４元テンソルは電磁場テンソルと呼ばれる。それを使うと上記の運動方程式は以下の式になる。

この式の添え字 i が０から３の４つの方程式が電磁場の中の電荷の４元的な運動方程式である。
この式に、第９節で以下の式で与えられた力ｆの式を適用して係数だけ変えれば粒子に働く力ｆが計算できる。



《第２４節》電磁場のローレンツ変換
　４元テンソルは、ローレンツ変換によって、動径４元ベクトルの積のように変換される。そのため、慣性基準系の静止系K(ct,x,y,z)とそれに対してx軸方向へ速度vで運動している慣性基準系K'(ct',x',y',z')の間では、電磁場テンソルの各成分が以下のようにローレンツ変換される。

この電磁場のローレンツ変換が分かったことで、粒子が電磁場から受ける力がローレンツ変換によってどのように変わるかが精密にわかるようになった。

《運動する電荷のまわりの電界》
　この電磁場のローレンツ変換によって、静止系Kにおいて静止している電荷ｑの時刻t=0の世界点Ａ(0,y,0)と世界点Ｂ(x,0,0)における電磁場は、速度ｖで運動する慣性基準系Ｋ’では以下の図のように変換される。すなわち、世界点Ａと世界点Ｂ（慣性基準系Ｋ’では静止系Ｋの場合よりも原点からの距離が短くなる）では、下図の強さの電磁場にローレンツ変換されて観測される。

（上図の電束の形は電荷が一定速度で運動する場合の形である。電荷の速度ベクトルが絶えず変わる場合は電束の形が上図とは異なると思う）。

（物理的意味を考える：電荷が増減して見える？）
　静止系Ｋで正と負の電荷が回転してい粒子対（電荷の総量が０）を考える。その粒子対は、慣性基準系Ｋ’では、下図の右から左の順に推移して回転する。

　慣性基準系Ｋ’で、その粒子対（電荷の総量が０）をある方向から観測すると、その観測点に至る各粒子からの電束の形が、上図の電束の形のように、粒子毎に異なって見えると考える。そうなると、その観測点に至る各粒子の電束が互いに打ち消されない。その結果、その観測点では、その電荷の対が、回転に伴って、（０ではない）電荷を増減するように見えるのではないか？

《第２５節》場の不変量
　２５節では、電磁場テンソルで作られる以下の２つの量が、ローレンツ変換で不変であり、場の不変量であることが示されている。

この計算に利用する行列
ε_iklm は、エディントンのイプシロンと呼ばれる。
（正しくは、擬テンソルと呼ばれる）
この行列の添え字が同じ数でない場合の、
ε_０１２３＝１，
ε_１０２３＝－１
であり、添え字が同じ数になる、
ε_１１２３＝ε_２２３０＝０
である。
（ただし、添え字の上付きテンソルと下付きテンソルは符号が異なり：

である）
  この擬テンソルを使ってあらわした２つ目の場の不変量は擬スカラーである。
《擬スカラー》
　擬スカラー とは、座標系の取り方を右手系⇔左手系と変えると，その符号を変えるスカラーのことである。

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