場の古典論《９節》エネルギーと運動量

【場の古典論】
【第２章】相対論的力学
《第９節》エネルギーと運動量
　第９節の一部を紹介する。
　「力学」の７節で説明されたように、ベクトル

を粒子の運動量と呼ぶ。式(8.2)を使うと、
(9.1)
とあらわせる。この式(9.1)で使ったベクトルｕk は、「場の古典論」７節の４元速度ｕi の空間成分をあらわす。

　粒子に働く力ｆは運動量ｐk の時間微分である。それは、以下の計算で示すように４元加速度ωk のｍｃ²/γ倍になる。


《４元加速度》
　４元加速度ωi は以下の式であらわされる。

４元加速度ωi は、４元速度ｕi と同様にローレンツ変換によって動径４元ベクトルと同じ形で変換される４元ベクトルである。また、４元加速度ωi は、４元速度ｕi との内積が０であり４元速度ｕi に直交する。
　４元加速度ωi は、以下の式で計算できる。


４元加速度ωi は、運動する粒子と同じ速度で運動する慣性基準系から見たら空間成分のみを持つ４元ベクトルである。それは、時間成分のみを持つ４元速度ui と直交する。

４元加速度ωi のｍｃ²/γ倍が運動量ｐi の時間微分になり、以下の式で表せる。


作用Sを座標の関数とみなすと、「力学」の４３節で説明されたように、運動量ｐが以下の式のように、作用Sの座標による偏微分であらわせる。以下の式では、３次元運動量を小文字のｐであらわし、４次元運動量を大文字のＰであらわして区別した。


４元ベクトル

は、運動量４元ベクトルとよばれる。４元運動量の反変成分であらわした４元運動量は

となる。

　次に、式(9.15)の逆変換の式の意味を説明する。

上図で、静止した静止系Kに対して、そのｘ軸方向に速度ｖで動く慣性基準系Ｋ’を考える。
(9.15)

この式(9.15)の逆変換の式を書くと以下の式(9.15b)になる。
(9.15b)

  以下では、この式(9.15b)の運動量ｐ’の式を導出する。
  ここで、静止質量ｍの粒子がある方向に速度ｗで運動するものとする。以下で、慣性基準系K'での、この粒子の速度ｗ’を計算して運動量ｐ’を計算する。この粒子の初期の位置を、慣性基準系KおよびK'の共通の原点にあるものとする（その後、慣性基準系Ｋ’の原点は移動する）。
　先ず、静止系Ｋでは速度ｗで運動する質量ｍの粒子の慣性基準系Ｋ’で観測した速度ｗ’を計算する。(第５節の)速度の合成の定理から、以下の速度ｗ’が得られる。

　次に、この粒子の慣性基準系Ｋ’で観測した運動量ｐ’を計算する準備として、慣性基準系K'で観測されるＪ’の式を計算する。


次に慣性基準系K'で観測される粒子の運動量ｐ’を計算する。

こうして、式(9.15b)の一部である、慣性基準系Ｋ’で観測した粒子の運動量ｐ’の式が計算できた。すなわち、その運動量ｐ’の、静止系Ｋでの運動量ｐとエネルギーＥとの関係式が求められた。
　ここで注意すべきことは、ｙ方向とｚ方向の運動量は、静止系Ｋと慣性基準系K'とで同じだが、その方向の粒子の速度は、静止系Ｋと慣性基準系Ｋ’とでは異なることである。

式(9.14)と

とから

が得られる。

　ふつうの力の定義からの類推によって、力の４元ベクトルをつぎの導関数として定義する。

この４元ベクトルの成分は、普通の３次元的な力ｆ＝dp/dt と以下の関係式(9.18)で結ばれる。先ず、以下の関係式がなりたつ。

これから、以下の関係式(9.18)がなりたつ。


　以下で、ハミルトンーヤコビの方程式を導き出す。その方程式の意味を理解する基礎知識として、「力学」の第４５節「正準変換」以降の各節を読むのが良い。「場の古典論」を読むということは、「力学」のそれらの節を合わせて読む（必要な寄り道）ということだと思う。
　とりあえず、ランダウの「力学」の「ハミルトン方程式」から「ハミルトンーヤコビの方程式」までを、以下のページで解説した。
▷力学《４０節》ハミルトン方程式
▷力学《４２節》ポアソンの括弧式
▷力学《４３節》座標の関数としての作用
▷力学《４４節》モーペルテュイの原理
▷力学《４５節》正準変換
▷力学《４６節》リウヴィルの定理
▷力学《４７節》ハミルトン＝ヤコービの方程式

　式(9.16)でpi を∂Ｓ/∂xi におきかえると

あるいは、和をあらわに書くと

が得られる。これが相対論的力学におけるハミルトン－ヤコビ方程式である。
　非相対論的ハミルトン－ヤコビ方程式が、量子力学のシュレーディンガー方程式の元になっている。そのため、相対論的ハミルトン－ヤコビ方程式は、シュレーディンガー方程式を相対論化するときの指針になる。

【リンク】
pdf 古典力学 (解析力学)
東京大学数理物理学班「古典力学」
「高校物理の目次」