力学《４３節》座標の関数としての作用

【力学】
【第７章】正準方程式
《第４３節》座標の関数としての作用
　第４３節の内容の一部を紹介する。

　先ず、ラグランジュ方程式を満足するラグランジアンを時間積分して得る作用Ｓを考える。その作用Ｓは、以下の計算で考察する結果、作用Sを座標の関数とみなすことができ、以下の式(43.3)が成り立つ。



ｐは一般化運動量である。こうして、作用Sは終点の座標の関数とみなすことができ、式(43.3)が成り立つ。

　同じようにして、作用Ｓを時間のあらわな関数とみなすこともできる。作用Sの定義そのものによって、軌跡にそった作用Sの、時間についての完全導関数はラグランジアンＬである。

一方、作用Ｓを座標と時間の関数とすれば、以下の式が成り立つ。

(43.3)および(43.5)をまとめて、つぎのように書くことができる。

これは、作用SをラグランジアンＬの時間積分の上限における座標と時間の関数とみなしたときの、作用Ｓの全微分ｄＳを与える表式である。

《作用Sの最小作用の原理によってハミルトン方程式を求める》
  ハミルトニアンＨの定義の式(40.2b)より、以下のように計算できる。


よって、ハミルトン方程式が得られた。

【リンク】
pdf 古典力学 (解析力学)
東京大学数理物理学班「古典力学」
「高校物理の目次」