2013年2月21日木曜日

2巻きの超伝導コイルの導線に働く力

 

【問】
 下図のように、2巻きの超伝導コイルに電流が流れていない状態で、磁石を近づけて、磁石による外部磁場の磁束ΔΦをコイルのループ内に侵入させた場合を考えます。

 その2巻きのコイルの導線の間隔(線の中心間の距離)の最大値がdとします。
 このとき、超伝導コイルは電流Iを流して、結局は、コイルを横切る磁束が元通りの0になるようにします。
 そのときに、コイルの2本の導線の間隔がdの位置における、コイル自身の電流による、コイルの導線に単位長さあたりに働く力Fを計算しなさい。

 ただし、この2巻きの超伝導コイルの自己インダクタンスはLとし、導線間隔dはコイルの半径rに比べて十分短い距離であるものとします。
d≪r
(注意)コイルのインダクタンスLは、コイルの巻き数が2程度で小さい場合は、コイルの導線の太さが小さいほど大きくなり、導線の太さによってインダクタンスLが変わります。

【解答】
 この2巻きコイルを横から観察すると、下図のように見えます。

 N巻きのコイルを横切る(コイルの外部からの)磁束Φが、Δtの時間でΔΦ変化すると、N巻きのコイルには誘導起電力E[ボルト]の電圧が
E=-NΔΦ/Δt (式1)
発生します。
(注意)誘導起電力の計算では、コイル自身の電流Iにより発生する磁束は計算に入れない。外部からの磁束のみで計算します。

 この誘導起電力に応じて、以下の式による電流Iの変化ΔIを生じます。
E=-L(ΔI/Δt) (式2)
 式1と式2から、
E=-NΔΦ/Δt=-L(ΔI/Δt)
NΔΦ=L・ΔI
∴ ΔI=NΔΦ/L
 この超伝導コイルには、最初は電流I=0でしたので、
I=ΔI=NΔΦ/L (式3)
です。
 この電流Iによって、コイルの各導線が磁場Hを発生しています。
 コイルの導線の電流Iの近くでは、直線の導線の電流Iが発生する磁場と同じく、
H=I/(2πd)
の磁場を発生しています。
 そのため、コイルの1本の線の電流Iの流れる線が単位長さあたりに、距離d離れて平行するコイルのもう1本の線の電流Iから受ける引力Fは、以下のように計算できます。

この大きさで、コイルのもう一方の導線に引きつけられる力が働きます。
(注意)コイル全体の電流からの力も働きますが、その力は、以下のように、対向して隣接する導線からの力に比べると十分に小さいので無視しました。つまり、遠方のコイルの電流からは、コイルの導線の電流Iの単位長さあたりにμ・I・(2・I/(2r))程度の力が加わります。
(1/r)≪(1/d)なので、その力は、対向して隣接する導線からの力に比べて十分小さいので無視しました。
(解答おわり)

(補足)
 以上の解答で計算した力Fは、dが小さくなればなるほど、(1/d)にほぼ比例して大きくなります。
 その理由は、後に大学で教わることですが、dが小さくなるときの、そのdよりも細い導線を使うべきこのコイルの(導線を細くすることによる)Lの増え方はdの減り方に比べると緩やかなので、結局、dLはdが小さくなるとdと一緒にどこまでも小さい値になります。
 そのため、外部磁場からこのコイルに加わる力もあり得ますが、以上の解答で計算した力Fは、dが十分小さければ、その力も上回ります。d≪rの条件によって、その条件もほぼ満足しています。

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2013年2月20日水曜日

磁場の中を運動する平行平板

 
 

【問】
 下図のように、紙面に垂直な面の金属の平行平板があり、その両方の金属板を金属線で接続しています。そこに、紙面から紙面の手前に向く磁場(磁束密度B)を加えます。
 そして、その金属の平行平板を、平板の面の方向で磁場に垂直な方向に速度vで運動させます。
 このとき、この金属の平板は電磁場からどのような力を受けるか。
平行平板の面積はSとし、平行平板の間隔をdとする。

【解1】
 先ず、この問題を、平行平板といっしょに運動する運動座標系の観測者から観測される状況に基づいて解きます。
 その座標系で観察すると、下図のように見えます。

 磁場Hが速度Vzで運動するので、誘導電場Exが発生します。
 その誘導電場Exが加わった金属の平行平板とそれをつなぐ金属線は、どこでも電位が同じになるように電荷が移動して空間から加わった誘導電場Exを打ち消す電場を発生させます。
 それにより打ち消される金属板間の電圧は、Ex・dです。そのため、平行平板の両端には、平行平板に電圧Ex・dがあらわれるだけの電荷q=C・(Ex・d)がたまります。

 金属の平行平板には電荷qがたまりますので、その電荷qには、対向する電荷からの電場が加わります。その電場の大きさは以下のように計算できます。
 電荷qには、誘導電場Exと、対向する電荷からの電場とが加わり、その電場の合計が、以下のように、電荷qに力Fを及ぼします。
この大きさの力Fが、平行平板同士を遠ざける方向に加わります。
(解答おわり)

【解2】
 次に、この問題を、磁場と一緒に静止している座標系の観測者の視点で解きます。
(この解き方の方が普通の解き方であると思います)
 その座標系で観察すると、下図のように見えます。

 速度vで運動する金属線に、単位長さあたりに起電力Eが発生します。金属板間の距離dでは、E・dの起電力が発生します。その起電力の電圧E・dが金属板間に加わります。
(磁場中における金属板間の電圧は、観測者の運動座標系が異なれば異なります)
 平行な金属板は容量がCのコンデンサーを成すので、電圧E・dが加われば、その平行金属板に電荷q=C・(E・d)がたまります。
 そうして溜まった電荷は平行な金属板と一緒に速度vで運動しますので、磁場からローレンツ力を、平行平板同士を遠ざける方向に、受けます。

 電荷qには、ローレンツ力と、対向する金属板上の電荷の発生する電場(E/2)からの力を受けます。
 その総和の力を計算すると、以下のようになります。

この大きさの力Fが、平行平板同士を遠ざける方向に加わります。
(解答おわり)


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2013年2月16日土曜日

磁極間に働く力

 
 
「高校物理の発想の基本」
高校物理の電磁気で、以下の図のように、電荷qが発生する電場をあらわす式を教わります。

上の電場Eの強さを与える式の表現の仕方は式の見通しを良くする表現方法です
 つまり、係数k=1/(4πε)と書いて、εを用いて係数k=9×10(N・m/C)をあらわすのは、上の式から電束強度D=εEをあらわす式を求める場合に、式をε倍にして係数を(1/(4π))にするだけで、すぐに電束強度を与える式が導けます。単位電荷による、1/(4πr)の電束強度を、半径rの球面積の4πrで積分すれば、単位電荷の全電束量が1になります。

 電場Eから力を受ける(電束を湧き出させる)電荷qに対応させて、磁場Hから力を受ける(磁束を湧き出させる)磁極という概念を考えることができます。その磁極は、電荷qが電場Eから力を受ける法則と対応した、上図に示した力を受ける法則を満足します。
 なお、磁束Φの湧き出し=mです。
 磁束Φが湧き出すのが磁石のN極で、磁束Φを吸い込むのがS極です。

(なぜ、電流Iの単位長さに働く力はIHでなく、μIHなのか)
電荷qに働く力=qE
です。
それなのに、
電流Iの単位長さに働く力=μIH
です。
 この差が出る理由は、
磁場Hというのは磁極(磁束)Φに働く力を与える場だからです。
磁極Φに働く力=ΦH
です。
Φ=μH・(面積)=μ(I/長さ)(面積)
=μ(面積/長さ)I=μ(長さ)I
だから、
力=ΦH=μ(長さ)I・H
そのため、
単位長さあたりの力=μI・H
になるのです。

(答えの検算用の単位の検算表)
(εμ)=(1/速度)
q=I・時間=H・長さ・時間=εE・面積
 =εV・長さ=εΦ・速度
Φ=V・時間=E・長さ・時間=μH・面積
 =μI・長さ=μq・速度
H=εE・速度=I/長さ
E=μH・速度=V/長さ
I=H・長さ=q・速度/長さ=q/時間
 =εV・速度
V=E・長さ=Φ/時間
 =μI・速度
C=q/V=εE・面積/(E・長さ)=ε・長さ
L=Φ/I=μH・面積/(H・長さ)=μ・長さ
LC=εμ・面積=(長さ/速度)=(時間)
力=q/(ε面積)=qE=E(ε面積)
 =εV
力=Φ/(μ面積)=ΦH=H(μ面積)
 =μI
力=μqI/時間=μqH・速度=μIH・長さ
 =μ(q/時間)=q/(ε面積)
 =ε(Φ/時間)=Φ/(μ面積)
 =εΦV/時間=εΦE・速度=εVE・長さ
力=EH・長さ・時間=Eq=ΦH
VI=[電力の]W=EH(面積)=E・(長さ)q/(時間)=力・(速度)

(εとμの思い出し方)
 εとμの値を忘れたが、どうしても思い出したいとき、以下のように計算すれば思い出せます。
 先ず、
電荷間の力の係数k=9×10(N・m/C)=1/(4πε)
は覚えておきましょう。それを覚えていれば、
ε=1/(4πk)
で計算すれば、εが思い出せます。
 次に、光速度c=3×10(m/s)=√(1/(ε・μ))は覚えておきましょう。それを覚えていれば、
=1/(ε・μ)
μ=1/(ε・c)=4πk/c
で計算すれば、μが思い出せます。

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コイルの線の近くの磁場の大きさ

「高校物理の発想の基本」
高校では、下図のように、
直線状電流がA点に作る磁場の強さと、1巻きコイルに流れる電流がコイルの中心のB点に作る磁場の大きさを教わります。


 それでは、1巻きコイルの、コイルの線からの距離bのC点での磁場の大きさはいくらになると考えられるでしょうか。
 1巻きコイルに流れる電流がコイルの中心B点に作る磁場Hの大きさは、コイルの半径に反比例して、コイルが大きくなるほど小さくなります。
 そのことから、コイルの全電流部分が集まって作る磁場の大きさは、その全電流部分の影響をあわせても、コイルの大きさに反比例する影響しか与えないことがわかります。

 1巻きコイルの結果から推測すると、直線状電流でも、上図のA点からrより十分大きいある距離R以上離れた位置の電流の影響を全部集めても、たかだか、1/R程度の大きさの磁場を発生する影響しか与えられていないだろうと推測できます。
 そして、また、1巻きコイルでも、コイルのC点からbより十分大きいある距離R以上離れた位置の電流の影響を全部集めても、たかだか、1/R程度の大きさの磁場を発生する影響しか与えられていないだろうと推測できます。

 1巻きコイルで、コイルの線からの距離bのC点での磁場Hの大きさは、もし、距離bが1巻きコイルの半径rより十分小さければ、C点から距離bよりある程度大きい距離以内の電流の寄与が大部分と考えられます。
 すなわち、1巻きコイルのコイルの線からの距離bのC点での磁場Hの大きさは、磁場Hを発生するのに寄与する電流部分はbよりある程度大きい部分までを考えれば良く、もし、距離bが1巻きコイルの半径rより十分小さければ、その部分は、直線とほとんんど変わらないと考えられます。
 その場合は、C点の磁場は、真っ直ぐな直線状に流れる電流が、電流からの距離bのC点に発生する磁場Hの大きさと同じと考えられます。

 そのため、1巻きコイルのコイルの線からの距離bのC点での磁場Hの大きさは、もし、距離bが1巻きコイルの半径rより十分小さければ、

H=I/(2πb)

になると考えられます。

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2013年2月14日木曜日

誘導起電力のおぼえ方

 
 
「高校物理の発想の基本」
 下図のように1巻きコイルに加える磁束Φを時間変化させると、
コイルに誘導起電力Eが発生すると教わります。
(N巻きコイルでは、このN倍の誘導起電力が発生する)
 その誘導起電力Eは、コイルに発生する電圧のことでは無く、仮想的な電源の電圧Eをあらわします。

 仮想的な電源の誘導起電力Eを発生させる磁束Φは、外部磁界がコイルを貫く磁束Φinのみであって、コイル自身に流れる電流が自ら発生する磁束Φは計算に入れません。
(N巻きコイルでは、磁束Φinが発生するN倍の誘導起電力が発生する)
 下の回路図のように、「誘導起電力」という仮想的な電源が回路に電圧や電流を発生するものとして回路図を描くことができます。

 誘導電圧Vは、その誘導起電力Eから、上図の回路のAB間の抵抗r(コイルの内部抵抗も加える)に発生する電圧を計算することで求めることができます。

(注意)
 1巻きのコイルの電流Iが自ら発生する磁束Φself=L・I
です。

 超伝導コイルの場合は、下図のように、外部磁場の変化が、超伝導コイルに誘導電流を流す作用を及ぼしています。

 それは、以下の回路図のように、外部磁場の時間変化が「誘導起電力」を発生し、それがコイルに誘導電流の時間変化を発生させているとして説明できます。
 また、上の計算の結果、1巻きの超伝導コイルの電流Iの変化は、

(コイルに流れる電流lの変化)
=(コイルを貫く外部磁束Φinの変化)/(インダクタンスL)

となります。

(誘導起電力Eは誘導電流の方向でおぼえる)
 誘導起電力は、電圧から考えるよりは、コイルに、どの方向に電流を誘起するかを考えるのが良い。次に、その電流が外部に接続した抵抗に発生する電圧を考えるようにする。
 誘導起電力は誘起する電流の方向(外部磁場の変化を打ち消す電流)でおぼえるとおぼえやすいです


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コイルに誘導電圧を発生する磁場はどれ

 
 
「高校物理の発想の基本」
1巻きコイルに加える磁束Φを時間変化させると、
下の図のように、コイルに誘導電圧Vが発生します。
(N巻きコイルでは、このN倍の誘導電圧が発生する)

 誘導電圧Vとは、下図のABの間につないだ抵抗r(コイルの内部抵抗も加える)に発生する電圧のことです。

 ただし、その誘導電圧を発生させる磁束Φは、コイル自身に流れる電流によって自ら発生した磁束Φを含んで計算します。
 上図は、誘導電圧Vが発生するしくみを説明する平面図です。コイルに紙面の裏に向く磁束が侵入してコイルに囲まれる磁束を増そうとします。ここで言う磁束にはコイル自身の電流が発生する磁束も含めた合計の磁束を意味します。
 そうすると、その磁束の運動により、コイルの金属面に平行な電場が発生します。コイルを構成する金属は、金属面に平行な電場を打ち消す電荷分布を生じます。
 コイルの端子の外にあらわれる誘導電圧は、金属の電荷分布が生じる電圧です。その電圧は、磁束の運動が生じる電界(電圧)に逆らう方向(逆方向)になります。


 一方、超伝導コイルでは、下図のように、コイルが自ら発生する磁場Hが大きい結果、コイルの誘導電圧が0になります。

 閉じた超伝導コイルの場合は、コイル自身に流れる電流の発生する磁束が、外部磁束のコイルへの侵入を打ち消しています。それにより、コイルに侵入する磁束が無くなるので、コイルの金属面に平行する電場はあらわれません。そのため、コイルには電荷分布も発生しません。
 外部磁場は、超伝導コイルに誘導電流を流す影響を与えています。
 (超伝導コイルには、外部磁場の変化に逆らう電流が流れます。)

 以上のように、誘導電圧、あるいは誘導電流が外部磁場によってコイルに誘導されます。この外部磁場の作用の、誘導電圧あるいは誘導電流は、仮想的な電源として「誘導起電力」によって発生させられると考えられています。この「誘導起電力」については、次のページで説明します。


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2013年2月13日水曜日

コイルのインダクタンスの式

 
 
「高校物理の発想の基本」
コイルのインダクタンスの式をおぼえるのが大変な人は、以下のように導くと良い。
 下図のようにコイルのインダクタンスLのエネルギーの式と、単位体積あたりの磁場のエネルギーの式をおぼえておいて、下図のように計算して対応付けます。

 単位体積あたりの磁場のエネルギーの式は上の式で、磁場Hの2乗に比例します。
 それに磁場の存在する体積SYを掛け算すると全磁場のエネルギーが得られます。
 コイルの蓄積するエネルギーは、下の式1のように、コイルのインダクタンスLであらわせます。

 その式1のエネルギーは、その右辺のあらわす全磁場のエネルギーと等しいです。
 両辺が等しいので、右辺を計算していけば、左辺があらわすコイルのインダクタンスLをあらわす式が得られます。

 コイルの磁場Hは、コイルの単位長さあたりの電流密度i。
を式1の右辺に代入して、以下のように計算します。

 この式を式1の左辺と比較すると、式1の左辺のインダクタンスLが得られます。
なお、コイルの断面Sを横切る磁束をΦとすると、
N巻コイルは、
電圧=LdI/dtがdΦ/dtのN倍
になります。

(注意)
 以上で説明したのは、巻き数Nが多く長さYが√Sに比べて長いコイルのインダクタンスLを与える式です。
 コイルの巻き数が数巻き程度で小さい場合は、コイルのインダクタンスLは、コイルの導線の太さが小さいほど大きくなり、導線の太さによってインダクタンスLが変わります。
 また、巻き数Nが小さいコイルは、インダクタンスLは、巻き数Nが増すと、
(1)コイルの間隔がコイルの導線の太さ程度でコイルの導線が密集している場合は、おおむね、1巻きコイルのインダクタンスのN倍程度に増加します。
(2)コイルの間隔がコイルの導線の太さより大きいと、そのインダクタンスLが、おおむね、 1巻きコイルのインダクタンスのN倍程度に増加します。
(3)そして、コイルの長さYが長くなるにつれて、インダクタンスLが、1巻きコイルのN倍よりは小さくなって、多数巻きコイルのインダクタンスLの式に従うようになります。

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超伝導コイルをつぶす場合

「高校物理の発想の基本」
超伝導線で作ったコイルの壁をつぶすと、
下の図のように、コイルが囲む磁束の和が変わりません。
そのため、コイルの中の磁場の密度が高くなります。

 コイルの中の磁場の密度が高くなるので、コイルの磁場を発生する電流密度I’も高くなります。
コイルのインダクタンスLは、コイルの軸方向の断面積Sに比例して小さくなります。
(コイルの巻き数をNとし、コイルの電流密度をiとすると、
L=μ(i/コイル電流)SN
です。)
 コイルが蓄積する磁場のエネルギーは(L・I/2)ですので、インダクタンスLが1/2になっても電流が2倍になれば、
コイルが蓄積する磁場のエネルギーは2倍になります。

 それで、コイルの導線をコイルの内側につぶすには、仕事(エネルギー)をコイルに与えなければなりません。
 結局、コイルの導線をコイルの内側につぶすには、コイルの導線が磁場から外側に押されている力に逆らって仕事をしなければなりません。

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コンデンサの合成容量

「高校物理の発想の基本」
【コンデンサーを並列接続した容量】
 下の回路のAとBの間の容量Cは以下のようになります。


【コンデンサーを直列接続した容量】
 下の回路のAとBの間の容量Cは以下のようになります。


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コイルの電流Iが受ける力

 
 
「高校物理の発想の基本」
下図の例のように、
電流が、自らの電流密度iが生じる磁界Hから受ける力Fは、外部磁界H/2から受ける力と同じです。


 電流Iが、自らの電流密度iの生じる磁場Hから受ける単位長さあたりの力fは、外部磁界H/2から受ける力と同じ。
 コイルの導線面は、単位面積pあたり、上式の力(圧力)を受ける。

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コンデンサの電荷qが受ける力

 
 
「高校物理の発想の基本」
下図の例のように、
電荷密度qが、自ら生じる電界Eから単位面積あたりに受ける引力fは、外部電界E/2から受ける力と同じです。

 電荷密度qが、自ら生じる電場Eから単位面積あたりに受ける引力fは、外部電界E/2から受ける力と同じ。
 コンデンサーの電極面は、単位面積あたり、上式の力(引力)を受ける。

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