磁場の中で回転する棒に発生する電圧

 
 
【問１】
下図のように、紙面に垂直で紙面から手前に向く磁場Ｈがあり、点Ｏに片端を固定した長さｒの絶縁体棒（先端が点Ａ）を点Ｏのまわりに紙面の平面中を左回り角速度ω（ｒａｄ／ｓ）の速度で回転するとき、棒の先端の点Ａと点Ｏの間に電圧が発生する。このとき、棒の先端の点Ａの、点Ｏに対する電圧を計算しなさい。

【解答】
　この問題を、固定した棒に対して、磁場が紙面の平面中を右回り角速度ω（ｒａｄ／ｓ）の速度で回転する問題として考える。その場合に、下図のように、磁場の運動により発生する誘導電場Ｅの方向をｘにし、磁場Ｈの方向をｙ方向にし、磁場の運動速度Ｖの方向をｚ方向にあてはめることができる。

棒の根元の点Ｏの、先端の点Ａに対する電圧は、棒の各部に発生する電場Ｅが棒の根元から先端の方向を向いているなら、電場Ｅのベクトルに根元側の方が電位が高いので、その電場Ｅの棒の長さ方向への積分で計算できる。それは、以下のように計算できる。

（答え）
　棒の先端の点Ａの、点Ｏに対する電位は、－（棒の根元の点Ｏの、先端の点Ａに対する電圧）なので、
－ωμＨ・ｒ^２／２　　（式１）
になる。

（注意）
　この電位は、棒といっしょに回転する運動座標系の空間の位置にあらわれる電位であって、点Ｏから半径方向の距離ｒの円周上のどの点でも、同じ電位です。

（注意２）
　ただし、磁場Ｈの存在する領域では、運動座標系が異なれば、誘導電場と、それを距離積分した電圧とが異なります。静止座標系で見ると、その静止座標系の空間のどの位置でも電位が０になります。

【問２】
　棒が金属棒の場合は、棒の先端の点Ａの、点Ｏに対する電圧はどうなるか。

【解答】
　金属の棒は、その棒に電場が加わると、その金属の表面に平行な電場を打ち消す方向に電荷を移動させて電荷のかたよりを生じさせます。
　そうして電荷を棒の両端に集めます。それにより、棒に平行な電場が打ち消されるので、その棒の端から端まで電位が同じになります。
　その結果、棒が金属の場合は、棒の先端の点Ａの、点Ｏに対する電圧は０です。

（注意）
　棒といっしょに運動する運動座標系の観測者から見ると、その座標系に対して相対運動をする磁場により空間に電場が発生します。その電場が金属棒に加わると、金属棒の電荷が移動して、式１で与えられていた電圧を打ち消して、金属棒の両端間の電圧が０になります。電場中でも、その金属が静止して見える観測者から見ると、金属のどの位置も電位が同じで、位置による電位差が無いように見えます。
　金属表面の電位が等電位になるのは、金属棒に電荷のかたよりを生じることで外部電場の影響を打ち消したからです。

【問３】
　下図のように、磁場Ｈ（紙面に垂直で紙面から手前に向く）が所定の存在領域にのみ一定の強度で存在する場合を考える。

　その磁場Ｈの存在する領域の境界線の位置の点Ｏに金属棒の根元のＯ点を設置する。金属棒の長さはｒであり、その長さｒの金属棒（先端が点Ａ）を点Ｏのまわりに紙面の平面中を左回りに一定の角速度ω（ｒａｄ／ｓ）で回転させる。
　更に、その金属棒の先端のＡ点に、磁場Ｈの存在する領域では、Ｏ点を中心とする半径ｒの円弧を描く形の金属導線Ｌを接続して、その金属線Ｌの端を、磁場の無い領域の点Ｂまで引き出します。
　また、金属棒のＯ点の位置から磁場Ｈが無い領域を走行する金属線Ｎを接続してその端を、点Ｂの近くの点Ｃまで引き出します。
　この場合、点Ｂの点Ｃに対する電位はいくつか。

【解答】
　問２で、金属棒のＡ点とＯ点の電位が同じだったのは、Ａ点とＯ点の間に加えられた電場と、Ａ点とＯ点の間の電荷のかたよりにより生じた電場とが打ち消しあったから生じた現象でした。
　一方、その点Ａに電気接続する金属線Ｌは磁場Ｈの存在領域では、磁場Ｈの運動方向に平行な方向にのみ走行するので、運動する磁場が生じる電場に垂直方向なので、その部分に電場が加わることがありません。
　その磁場Ｈの領域を出て磁場Ｈの存在しない領域を走行する部分には、そもそも電場が加わりません。
　金属線Ｎは、磁場の存在しない領域を走行するので、その部分に電場が加わることがありません。

　磁場Ｈの存在する空間には、運動する磁場Ｈが電場Ｅを生じていますが、その空間に置いた金属棒では、その金属棒上の異なる点の間に電圧があると、その電圧の差を打ち消すように金属棒の電荷が移動します。結局、金属棒上のあらゆる位置が等電位になり、金属棒上の異なる点の間には電圧があらわれません。
　すなわち、金属棒は、その根元の点Ｏに対して先端の点Ａの電位が高くなるように電荷を分布させて、空間の電位分布を打ち消しています。
その金属棒の電位は、磁場Ｈの存在する領域では、Ｏ点からＡ点と金属線Ｌの、磁場Ｈの存在領域の境界線に至る位置まで０電位です。その金属棒と金属線の電位が０であるのは、磁場Ｈが存在する空間が発生させる電位（Ａ点とＯ点の間に空間から加えられた電場により生じる電圧）を、金属棒と金属線Ｌに生じた電荷の分布によって打ち消しているからです。

　ところが、その金属線Ｌが、磁場Ｈの存在領域の外に出ると、空間から加えれていた電圧が０に変わります。磁場Ｈの存在領域では、金属の電荷の偏りにより生じていた電圧と、空間が生じる電圧がちょうど打ち消しあって０になっていたのに、磁場Ｈの存在領域の外に出ると、空間から加わる電圧が突然に０になります。
　すると、磁場Ｈの存在量領域の外に出た部分では、空間から加えられる電場が無いので、この導体系に、電荷の偏りによって生じた電圧のみがあらわれます。すなわち、Ａ点とＯ点の間に加えられた電場を打ち消す電圧があらわれます。その後の金属の電位は、磁場Ｈの外で接続する金属部分が等しい電位になります。結局、磁場Ｈの存在領域の外のＢ点とＣ点の間には、Ａ点とＯ点の間に空間から加えられた電圧を打ち消す大きさの電圧があらわれ、Ｃ点に対するＢ点の電位は、
（答え）
ωμＨ・ｒ^２／２　　（式２）
になります。

（注意）
　本問のように、磁場Ｈが運動することで空間に発生する電場Ｅは、磁場Ｈの存在領域のみに限られている局所性があります。
　そして、磁場Ｈが存在しない領域では空間が発生する電場Ｅがありません。
　その局所性のある電場Ｅは、静止電荷を組み合わせては作れません。
　そのため、磁場Ｈの存在領域から金属線が出たとたんに、金属線の電荷の偏りにより発生する電圧を打ち消す空間電圧がいきなり消え、その結果、金属線に電圧があらわれました。

　この誘導電場の持つ局所性が、本質的に重要です。


【リンク】
「高校物理の目次」