２巻きの超伝導コイルの導線に働く力

 

【問】
　下図のように、２巻きの超伝導コイルに電流が流れていない状態で、磁石を近づけて、磁石による外部磁場の磁束ΔΦをコイルのループ内に侵入させた場合を考えます。

　その２巻きのコイルの導線の間隔（線の中心間の距離）の最大値がｄとします。
　このとき、超伝導コイルは電流Ｉを流して、結局は、コイルを横切る磁束が元通りの０になるようにします。
　そのときに、コイルの２本の導線の間隔がｄの位置における、コイル自身の電流による、コイルの導線に単位長さあたりに働く力Ｆを計算しなさい。

　ただし、この２巻きの超伝導コイルの自己インダクタンスはＬとし、導線間隔ｄはコイルの半径ｒに比べて十分短い距離であるものとします。
ｄ≪ｒ
（注意）コイルのインダクタンスＬは、コイルの巻き数が２程度で小さい場合は、コイルの導線の太さが小さいほど大きくなり、導線の太さによってインダクタンスＬが変わります。

【解答】
　この２巻きコイルを横から観察すると、下図のように見えます。

　Ｎ巻きのコイルを横切る（コイルの外部からの）磁束Φが、Δｔの時間でΔΦ変化すると、Ｎ巻きのコイルには誘導起電力Ｅ［ボルト］の電圧が
Ｅ＝－ＮΔΦ／Δｔ　（式１）
発生します。
（注意）誘導起電力の計算では、コイル自身の電流Ｉにより発生する磁束は計算に入れない。外部からの磁束のみで計算します。

　この誘導起電力に応じて、以下の式による電流Ｉの変化ΔＩを生じます。
Ｅ＝－Ｌ（ΔＩ／Δｔ）　（式２）
　式１と式２から、
Ｅ＝－ＮΔΦ／Δｔ＝－Ｌ（ΔＩ／Δｔ）
ＮΔΦ＝Ｌ・ΔＩ
∴　ΔＩ＝ＮΔΦ／Ｌ
　この超伝導コイルには、最初は電流Ｉ＝０でしたので、
Ｉ＝ΔＩ＝ＮΔΦ／Ｌ　（式３）
です。
　この電流Ｉによって、コイルの各導線が磁場Ｈを発生しています。
　コイルの導線の電流Ｉの近くでは、直線の導線の電流Ｉが発生する磁場と同じく、
Ｈ＝Ｉ／（２πｄ）
の磁場を発生しています。
　そのため、コイルの１本の線の電流Ｉ_１の流れる線が単位長さあたりに、距離ｄ離れて平行するコイルのもう１本の線の電流Ｉ_２から受ける引力Ｆは、以下のように計算できます。

この大きさで、コイルのもう一方の導線に引きつけられる力が働きます。
（注意）コイル全体の電流からの力も働きますが、その力は、以下のように、対向して隣接する導線からの力に比べると十分に小さいので無視しました。つまり、遠方のコイルの電流からは、コイルの導線の電流Ｉの単位長さあたりにμ・Ｉ・（２・Ｉ／（２ｒ））程度の力が加わります。
（１／ｒ）≪（１／ｄ）なので、その力は、対向して隣接する導線からの力に比べて十分小さいので無視しました。
（解答おわり）

（補足）
　以上の解答で計算した力Ｆは、ｄが小さくなればなるほど、（１／ｄ）にほぼ比例して大きくなります。
　その理由は、後に大学で教わることですが、ｄが小さくなるときの、そのｄよりも細い導線を使うべきこのコイルの（導線を細くすることによる）Ｌの増え方はｄの減り方に比べると緩やかなので、結局、ｄＬ^２はｄが小さくなるとｄと一緒にどこまでも小さい値になります。
　そのため、外部磁場からこのコイルに加わる力もあり得ますが、以上の解答で計算した力Ｆは、ｄが十分小さければ、その力も上回ります。ｄ≪ｒの条件によって、その条件もほぼ満足しています。

【リンク】
「高校物理の目次」