ランダウ・リフシッツの「力学」一般運動量

  最小作用の原理
  ４元ベクトル

《一般運動量》
　相対性理論の場合にも通用する一般運動量の概念を、ランダウ・リフシッツの「力学」の第７節から学べます。

【力学】
【第２章】保存法則
《第７節》運動量
　第６節では、ラグランジュアンＬ(q,q',t)が時間ｔにあらわに依存する関数で無ければ、エネルギー保存の法則が導き出されることを学んだ。第７節では、運動量保存の法則を導き出す。ラグランジュアンＬ(q,q',t)の関数が一般座標ｑにあらわに依存しなければ、オイラー・ラグランジュの方程式を使って（一般）運動量保存の法則が導き出される。
《注意》保存量の導出の根本的な原理はネーターの定理である。ネーターの定理の条件を満足する１つの場合が、ラグランジュアンの関数Lが一般座標ｑにあらわに依存しない場合である。

運動量（一般運動量）は、ラグランジュアンＬを一般速度ｑ'で偏微分した以下の式ｐで表される。極座標の角度θを一般座標ｑにした場合は、一般運動量は角運動量である。
　この一般運動量の時間微分が力Fである。力FはラグランジュアンＬの一般座標による偏微分であらわされるので、ラグランジュアンＬが一般座標ｑにあらわに依存しなければ、力Ｆが０になる。そして、一般運動量が時間によって変化せず、保存される。

ここで、力Ｆは、以下の式のようにポテンシャルエネルギーＵの偏微分であらわされる。その式は、その力Ｆをラグジュアンの偏微分で表す式とは符号が逆である。そのため、ラグランジュアンＬは運動エネルギーＴからポテンシャルエネルギーＵを引き算した式であらわす必要がある。


《解析力学から「場の古典論」までを理解する助けになる参考書》
　EMANの物理学　から学ぶのが良いと思う。
　ランダウの「力学」の§７以降は比較的スムーズに読めるかもしれない。「力学」の次に「場の古典論」を読むためには、情報収集を急がず時間的に余裕があれば、「力学」の§４０～§４７も読んでおいた方が「場の古典論」の理解の助けになり良いと思う（独楽が大好きな人以外は、「力学」の§３３～§３９は読まずに§４０に進んでも良いと思う）。

▷相対性原理を基礎に据えたランダウ・リフシッツの「力学」から「場の古典論」最小作用の原理
▷ランダウ・リフシッツの「力学」一般運動量
▷力学《４０節》ハミルトン方程式
▷力学《４２節》ポアソンの括弧式
▷力学《４３節》座標の関数としての作用
▷力学《４４節》モーペルテュイの原理
▷力学《４５節》正準変換
▷力学《４６節》リウヴィルの定理
▷力学《４７節》ハミルトン＝ヤコービの方程式
▷相対性原理と電磁気学の教科書のランダウ・リフシッツの「場の古典論」４元ベクトル
▷場の古典論《６節後段》テンソル解析の公式集
▷ランダウ・リフシッツの「場の古典論」相対論的ラグランジュアン
▷場の古典論《９節》エネルギーと運動量
▷場の古典論《１４節　角運動量》の考察
▷ランダウ・リフシッツの「場の古典論」場の４元ポテンシャル
▷「場の古典論」電磁場テンソル
▷「場の古典論」電磁場のラグランジュアン
▷「場の古典論」マックスウェルの方程式の第２の組
▷場の古典論《３２節》エネルギー・運動量テンソル

【リンク】
「高校物理の目次」