勉強しよう高校物理: ランダウ・リフシッツの「場の古典論」相対論的ラグランジュアン

場の４元ポテンシャル

《相対論的ラグランジャン》
　ランダウ・リフシッツの「力学」から、最小作用の原理とラグランジュアンを学びました。その基礎の上に、「場の古典論」から相対性原理でのラグランジュアンの導出を学びます。

【場の古典論】
【第２章】相対論的力学
《第８節》最小作用の原理
　物質粒子の運動を研究するにあたって、われわれは最小作用の原理から出発することにしよう。最小作用の原理は、よく知られているように、つぎのように述べられる：すべての力学系に対して、ラグランジュアンＬを積分した作用Ｓが存在し、Ｓは現実の運動に対して極小値をとる。すなわち、その変分δＳがゼロになる。
　自由な物質粒子（いかなる外力の影響をも受けていない粒子）に対するラグランジュアンＬとdt の作用積分Ｓを求めよう。そのために、先ず考慮すべきことは、この作用積分Ｓは慣性基準系の選び方によらない、すなわち、ローレンツ変換に対して不変でなければならないことに注意する。そうすると、それは、ローレンツ変換に対して不変なあるスカラーに依存するはずである。さらに、作用積分されるラグランジュアンＬとdt の積は、１階の微分でなければならないことは明らかである。ところで、自由粒子に対してつくることのできるこの種の唯一のスカラーは、世界間隔ｄｓに定数αを掛けたものである。したがって、自由粒子に対する作用Ｓは

という形でなければならない。この作用積分は、粒子がそれぞれ決まった時刻t1の始点の事象から、決まった時刻t2の終点の事象に達するという、２つの事象の間の、すなわち粒子の２つの与えられた世界点の間の、粒子の世界線（時間毎に粒子の存在する空間座標をあらわす曲線）にそってとった積分である。αはすべての粒子に対して正の量でなければならない。そうすれば上の式の作用積分Ｓは、－１が掛け算されているので、粒子のまっすぐな世界線にそって最小値を持つ。曲がった世界線に沿って積分すれば、この作用積分は（負の値を持つが）いくらでも大きく０に近づくことができる。そのため、上記の式の符号を正の値に変えることはできない。
物質粒子の速度をｖとすれば、世界間隔ｄｓの積は粒子の固有時間ｄｔ’の積分になり、以下の式であらわせる。