「場の古典論」電磁場テンソル

場の４元ポテンシャル
電磁場のラグランジュアン

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▷運動する電荷のまわりの電界
▷（電荷が増減して見える？）

【場の古典論】
【第３章】場のなかの電荷
《第２３節》電磁場テンソル
　この節では、以下の、４次元的な形に書かれた作用積分：

から直接に、電磁場のなかの粒子の運動方程式を導く。
この作用積分に最小作用の原理を適用する。 

これに、以下の、ローレンツ変換に対して不変なスカラーの微分の式を適用する。

この式を使って上式を以下のように変形する。

ここで、第１項に以下の式を代入する。

ｕiは４元速度の成分である。

そして、被積分関数のなかの項を部分積分すると以下の式になる。

ここで、変分では両端の値がが固定されていて変わらないことを使って式を変形した。さらに、

を使う。

さらに、第３項の添え字のi とk を入れ替える。

δⅹiがどのように変わっても被積分関数が０にならなければならない。そのため以下の式が成り立つ。

そこで、

という記号を導入する。テンソルFikは、ローレンツ変換によって４元ベクトルの積（内積ではない）のように変換される４元テンソルである。
１つずつ計算していくと、以下のように計算できる。


４元テンソルFikの計算結果をまとめると、以下の行列になる。

この４元テンソルは電磁場テンソルと呼ばれる。それを使うと上記の運動方程式は以下の式になる。

この式の添え字 i が０から３の４つの方程式が電磁場の中の電荷の４元的な運動方程式である。
この式に、第９節で以下の式で与えられた力ｆの式を適用して係数だけ変えれば粒子に働く力ｆが計算できる。



《第２４節》電磁場のローレンツ変換
　４元テンソルは、ローレンツ変換によって、動径４元ベクトルの積のように変換される。そのため、慣性基準系の静止系K(ct,x,y,z)とそれに対してx軸方向へ速度vで運動している慣性基準系K'(ct',x',y',z')の間では、電磁場テンソルの各成分が以下のようにローレンツ変換される。

この電磁場のローレンツ変換が分かったことで、粒子が電磁場から受ける力がローレンツ変換によってどのように変わるかが精密にわかるようになった。

《運動する電荷のまわりの電界》
　この電磁場のローレンツ変換によって、静止系Kにおいて静止している電荷ｑの時刻t=0の世界点Ａ(0,y,0)と世界点Ｂ(x,0,0)における電磁場は、速度ｖで運動する慣性基準系Ｋ’では以下の図のように変換される。すなわち、世界点Ａと世界点Ｂ（慣性基準系Ｋ’では静止系Ｋの場合よりも原点からの距離が短くなる）では、下図の強さの電磁場にローレンツ変換されて観測される。

（上図の電束の形は電荷が一定速度で運動する場合の形である。電荷の速度ベクトルが絶えず変わる場合は電束の形が上図とは異なると思う）。

（物理的意味を考える：電荷が増減して見える？）
　静止系Ｋで正と負の電荷が回転してい粒子対（電荷の総量が０）を考える。その粒子対は、慣性基準系Ｋ’では、下図の右から左の順に推移して回転する。

　慣性基準系Ｋ’で、その粒子対（電荷の総量が０）をある方向から観測すると、その観測点に至る各粒子からの電束の形が、上図の電束の形のように、粒子毎に異なって見えると考える。そうなると、その観測点に至る各粒子の電束が互いに打ち消されない。その結果、その観測点では、その電荷の対が、回転に伴って、（０ではない）電荷を増減するように見えるのではないか？

《第２５節》場の不変量
　２５節では、電磁場テンソルで作られる以下の２つの量が、ローレンツ変換で不変であり、場の不変量であることが示されている。

この計算に利用する行列
ε_iklm は、エディントンのイプシロンと呼ばれる。
（正しくは、擬テンソルと呼ばれる）
この行列の添え字が同じ数でない場合の、
ε_０１２３＝１，
ε_１０２３＝－１
であり、添え字が同じ数になる、
ε_１１２３＝ε_２２３０＝０
である。
（ただし、添え字の上付きテンソルと下付きテンソルは符号が異なり：

である）
  この擬テンソルを使ってあらわした２つ目の場の不変量は擬スカラーである。
《擬スカラー》
　擬スカラー とは、座標系の取り方を右手系⇔左手系と変えると，その符号を変えるスカラーのことである。

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