「場の古典論」マックスウェルの方程式の第２の組

電磁場のラグランジュアン
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【場の古典論】
【第４章】場の方程式
《第３０節》マックスウェルの方程式の第２の組
　最小作用の原理を用いて電磁場の方程式を求めるには、電荷を持つ粒子の運動は与えられたものと仮定し、電磁場だけを、つまり、電磁ポテンシャルＡi だけを変化させなければならない。他方、運動方程式を求めるためには、電磁場を与えらえたものとして、粒子の軌跡を変化させた。
したがって、以下の作用積分（粒子がｎ個あり、粒子毎に異なる電荷がある）

の第１項のmcdsはゼロであり、第２項ではＡidxi のdxi を変化させてはならない。このようにして、最小作用の原理を上記の式に適用する。
（なお、上記の式では表示の簡単化のために、ｎ個の粒子の各世界点の４元ベクトルｘi に付けるべき粒子番号の添え字ｎを省略している）

　「場の古典論」では、作用積分の領域の時間的境界面に、場の４元ポテンシャルＡiを固定している。最小作用の原理を適用するイメージとして、下図のx,y,z,tの４次元空間（ｚ軸は図示しない）内の粒子１と粒子２と、電磁場の４元ポテンシャルAi とを考える。

　 この４次元空間の時間軸方向の大きさは、時間軸方向での最初の時刻と最後の時刻との間の時間Δｔの大きさを持つ。この４次元空間の３次元空間座標軸方向の大きさは、時間軸方向の大きさΔｔの光速度 c 倍のｃΔｔよりも十分に大きく、ほぼ無限遠に至るまで大きくする。電磁場は光速度で伝わるので、電荷の存在する領域から光速度で達する領域よりも外の領域には場の４元ポテンシャルが存在しない。すなわち、４次元空間の３次元空間座標軸方向の十分に遠方の端では場の４元ポテンシャルAi が存在しない。そのような４次元的な直方体の領域を考える。
　その４次元的な直方体の時間軸方向での４次元的な境界面（与えられた最初の時刻での３次元空間と、Δｔ後の最後の時刻での３次元空間）に、粒子の世界点a1,b1,a2,b2が固定されている。また、電磁場の４元ポテンシャルＡi が固定されている。 　
　粒子１について世界点a1から世界点b1まで作用積分し、粒子２について世界点a2から世界点b2まで作用積分する。あらゆる粒子について、同様に作用積分する。電磁場の４元ポテンシャルＡiを微分して電磁場テンソルＦik を計算して、それを使って電磁場のスカラーを求める。そして、上図の４次元的な直方体内の電磁場のスカラーを積分して電磁場の作用積分を求める。
　それらの作用積分の総体の値が最小になるように、粒子１の軌跡と粒子２の軌跡と、電磁場の４元ポテンシャルＡiの各時刻と各位置における値を定める。

　作用積分SおよびラグランジュアンＬをあらわす式を、電磁ポテンシャルＡi とその微分との関数で作った。その作用積分Ｓの変分δＳが以下の式で計算できる。なお、以下の式では、表示を簡単化するため、ｎ個の粒子毎の電荷を表す記号ｅに付けるべき粒子番号の添え字ｎを省略してあらわす。またｎ個の粒子の世界点の４元ベクトルｘi に付けるべき粒子番号の添え字ｎを省略してあらわす。

次に、第２項の添え字のｉとｋを入れ替える。

さらに、第２項のＦkiを-Fikでおきかえる。

次に、第２の積分を部分積分する。 つまりガウスの定理を適用する。

この式で、ガウスの定理で面積積分した第２項については、４次元的直方体の積分の限界である４次元的境界面での値を入れなければならない。

先ず、第２項での４次元的境界面のうち、３次元座標の積分の限界である、ほぼ無限遠方の境界面の位置では、電磁場はゼロである。次に、第２項での４次元的境界面のうち、時間方向の積分の限界の境界面、すなわち、与えられた最初の時刻の３次元空間と最後の時刻の３次元空間においては、電磁場の４元ポテンシャルＡi がその４次元的境界面（３次元空間）に固定されている。そのため、その時間方向の４次元的境界面（３次元空間）では、Ａiの変分δＡi がゼロである。
その結果、第２項が消えて以下の式になる。

ここで、この式の第１項を、第２８節で求めた電流密度ベクトルを用いた以下の式におきかえる。

この電流密度ベクトルは以下の式であらわされる。

作用積分Ｓの変分δＳは以下の式に整理できる。

最小作用の原理による変分δＡi は任意であるから、δＡi の係数をゼロに等しいとおかなければならない：

添え字i が１から４の４つの方程式が、４次元形式にあらわされたマックスウェルの方程式の第２の組である。それらを３次元形式に表わそう。i=1の第１式は

この式は、続くi=2, i=3 の２つの式と合わせて１つのベクトル方程式に書くことができる。

最後に、i=0 の第４の方程式は

になる。
　これらのベクトル表示で書かれた方程式は、マックスウェルの方程式の第２の組である。
　以上のように電流密度分布と電磁場テンソルの成分が関係付けられたのは、作用積分の項に、電磁場の存在に係る作用積分の項Ｓf を加えたことで、最小作用の原理から、電磁場自身が生成される原因を定める方程式を導出することができた。そして、その方程式は、電磁場が電流密度あるいは電荷によって生成されるということをあらわしている。
　電荷が、先行して存在する電磁場の影響を受ける作用があれば、電磁場自身も独立な実体であるとする（作用積分の項Ｓfを加える）ならば、電荷から逆に、電磁場が生み出されるという反作用の解（マックスウェルの方程式の第２の組）が得られた。
　このようにして、電場や磁場は、電流密度ベクトル（電流密度あるいは電荷）によって生じることがわかった。
　特に、注意すべき事は、電場の時間微分で表されている電束電流もまた、（電荷）電流密度ベクトルによって生じることである。

《当ブログの意見》
　最後に、この最小作用の原理から導きだされた方程式の解釈をもう１つ追加する。この解の方程式は、電流密度ベクトルが電磁場テンソルの成分（電磁場）を生じる解釈の他に、逆に、電磁場が電荷を生成すると解釈することができる。その解、すなわち、電磁場が電荷を生じる（電荷の対生成）顕わな解を得るためには、電磁場のラグランジュアンに新たな項を追加する必要があると考える。

【リンク】
pdf 古典力学 (解析力学)
東京大学数理物理学班「古典力学」
「高校物理の目次」