相対論的ラグランジュアン
電磁場テンソル【場の古典論】
【第３章】場のなかの電荷
《第１６節》場の４元ポテンシャル
与えられた電磁場のなかで運動する粒子に対する作用積分は、自由粒子の作用の項と、粒子の電磁場との相互作用の項との２つの部分からなっている。粒子の電磁場との相互作用を記述する項は、粒子を特徴づける量と、電磁場を特徴づける量との両方を含むはずである。
電磁場との相互作用に関する粒子の性質は、粒子の電荷ｅと呼ばれるただ１つのパラメーターで規定される。それは正あるいは負の値をとりうる。粒子に作用する電磁場の性質は４元ポテンシャルと呼ばれる４元ベクトルＡiによって特徴づけられる。その成分は３次元座標と時間の関数である。上付き添え字であらわした反変ベクトルが４元ポテンシャルである。次の行に下付き添え字であらわしたベクトルは、そのベクトルに共役な共変ベクトルである。
粒子の電磁場との相互作用を記述する項は、電磁場を特徴づける４元ポテンシャルＡiと、粒子を特徴づける３次元座標と時間との４元ベクトルとを含むはずである。その２つの４元ベクトルを含む、ローレンツ変換に対して不変なスカラー量は、電磁場の４元ポテンシャルと、粒子の座標の４元ベクトルの微分との内積である。そのスカラー量が、以下形の式の、粒子の電磁場との相互作用の項になる。
こうして、電磁場のなかの粒子の作用積分Ｓの形は以下の式であらわされる。
電磁場の４元ポテンシャルＡiの３つの空間成分は、場のベクトルポテンシャルと呼ばれる３次元ベクトルＡを作る。４元ポテンシャルＡiの時間成分は、Ａ0=Φであり、Φは場のスカラーポテンシャルである。したがって作用積分は以下の式で書くことができる。
さらに、粒子の速度をｖとすれば、dr/dt=v であるから、作用積分は以下の式になる。
よって、粒子の電磁場との相互作用の項を加えたラグランジュアンは以下の式になる。
《第１７節》場のなかの粒子の運動方程式
ランダウの教科書「力学」の第２節に記載されているラグランジュ方程式は以下の式である。
これを、具体的に計算すると、以下の式になる。
ここで、以下の関係が成り立つ。
こうして、電磁場のなかでの電荷の運動方程式が得られた。
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「高校物理の目次」
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