曲面で曲げたひもの張力はどこでも同じ

「高校物理の発想の基本」
「ベクトルに、常にそのベクトルの方向に垂直な微少ベクトルを加え続けて積分すると、
ベクトルの方向が変わるが、ベクトルの大きさは変わらない」という定理があります。

　その定理の結果、ひもを押し当てる曲面がひもに摩擦力を加えないならば、
その曲面の形がどのような場合でも、その曲面で曲げられるひもは、どの部分でも張力が同じ値になります。

　この定理の証明は簡単ではありませんが、試験問題を解く場合の前提知識として知っておいた方が良いと思います。
　そのため、この定理を以下で導出します。

　例えば上図のように、ひもの左側の張力がＦ_０である場合に、このひもが曲面で角度２θだけ曲げられる場合を考える。

　このひもには、曲面からひもの張力の方向に垂直な方向に加わる抗力Ｆ_１、Ｆ_２、Ｆ_３が加えられるものとします。この力は無限に細かく分解して各細部に加わりますが、無限に細かくするのが大変なので、力を３つだけに分解して図に示しました。

　そうすると、ひもが張力で左側に引っ張られる力Ｆ_０（力の絶対値をｆ_０とする）と、右側に引っ張られる力Ｆ_ｎ（力の絶対値をｆ_ｎとする）と、曲面からひもに加わる力とが釣り合う条件が式１であらわせます。
　この式１で、曲面からひもに加わる力は、３つに分解して考えますが、そのように３つに分解した各力の絶対値はｆ_１で値が等しいものとします。ただし、その３つの力の方向は、場所により微妙に異なります。
　この各力は、以下の式であらわせます。

　この各力の式を式１に代入して以下のように計算すると式２が得られます。そして、その式２から式３と式４が得られます。

　この式４を以下のように変形すると式５が得られます。その式５を式３に代入して計算すると、以下の式６が得られます。

　この式６から、以下の式７のように、ひもの右側の張力Ｆ_ｎが左側の張力Ｆ_０と同じ大きさであるという結論が得られます。
　これで、定理が導かれました。

　なお、この式７を式５に代入すれば、曲面からひもの張力の方向に垂直な方向に加わる抗力Ｆ_１、Ｆ_２、Ｆ_３の大きさをあらわす式８が得られます。

（補足）
　上の計算で、曲面からひもに加わる３つの力の絶対値がどれも等しい大きさｆ_１であると（物理問題研究者の都合で）仮定しました。そのように、わからない量については、とりあえず値を仮定してしまい、１つの結論が得られたら、その仮定が無くても同じ結論が得られるか調べていくのが、物理研究のやりかたです。この例の場合では、この３つの力の中央の力の大きさだけが残りの２つの力と大きさが異なるものとして計算しても、やはり、ひもの右側の張力Ｆ_ｎが左側の張力Ｆ_０と同じ大きさであるという結論が得られます。

（補足２）
　上の図を、θが十分小さい角度の場合とし、その場合を１／θ倍連続して行なうことで方向を変える場合を考えます。
　そして、θが十分小さい角度の１つの場合の、曲面からひもに加わる抗力のＦ_１とＦ_３の大きさがθの割合で異り、それを１／θ倍連続して行なうことで、曲面からひもに加わる力の大きさが場所によって異なる場合を考えます。
　その場合は、１つの図の場合で、ｆ_０とｆ_ｎはθ^２程度の割合で異なります（このことを導出する説明は省略します）。しかし、それを１／θ倍連続して行なっても、ひもの左端の張力ｆ_０と、１／θ個目の図のひもの右端の張力ｆ_ｎとは、θ^２／θ＝θ程度の微少量の割合でしか異なりません。
そのため、θを充分小さくした極限では、ひもの左端の張力ｆ_０と、１／θ個目の図のひもの右端の張力ｆ_ｎとは同じ値になります。


【リンク】
「高校物理の目次」