勉強しよう高校物理

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▷４元グラジエント
▷(1)４次元空間のなかの曲線のうえの積分
▷(2)４次元空間のなかの（２次元）曲面のうえの積分
▷相対論の４次元空間（ミンコフスキー空間）でのホッジの星印作用素の定義
▷(3)４次元空間のなかの超曲面、すなわち、３次元多様体のうえの積分
▷(4)４次元の体積にわたる積分
▷微分形式
▷４次元座標の連続関数に関するガウスの発散定理
▷４次元座標での３次元超曲面での積分を、超曲面を包む２次元面での積分に変換する定理
▷ランダウの「対偶」の定義の修正

【場の古典論】
【第１章】相対性原理
《第６節後段》21p～24p テンソル解析の公式集
　この部分を以下で解説するが、このページの最後に記載した、《ランダウの「対偶」の定義の修正》を最初から行って、説明を進めた方が説明がスッキリするので、以下の説明の早い時期に、その定義を修正して説明するようにした。

〔§6でのテンソル解析の公式集を理解する基礎知識として《微分形式》を学んでおいた方が良いと思う〕
『これから，今まで知っていた代数と少し異なる新しい代数を勉強します．代数とは，乗法の定義されたベクトル空間のことでしたが，これから考える乗法は，既にご存知のベクトルの外積に少し似た乗法です．これを 外積代数 と呼びます．しかし，これから考える乗法はベクトルの外積よりも，もっと一般的なものですので，ひとまずベクトルのことは忘れておくと良いと思います．外積代数はそれ自体でも面白いのですが，微分形式もしくは外微分形式と呼ばれる強力なツールを勉強するための土台になります．（微分形式は，物理や工学などに幅広く応用できる強力な理論です．外積代数だけでは，少し数学的すぎて無味乾燥に感じるかも知れません．）どうしても微分形式を早く勉強したい人は，外積代数カテゴリーの後半の記事は飛ばして先に行っても大丈夫ですが，最低 ホッジ作用素 の記事の内容は押さえておいた方が良いと思います．』

《ポアンカレの補題》任意の次数の微分形式に対し，二回外微分を取ったら零になります．

　また、この微分形式の説明を理解する基礎知識として「テンソルの概念の初歩」を学んでおくと良いと思います。
『外積のルール 1 と 2 を持った算法の構造を，外積代数と呼びます．外積代数では，外積の計算を一般の次元でも使えるように少し拡張したウェッジ積という乗法を考えます．』

　４次元テンソル解析の微分および積分演算の公式を述べる。
《４元グラジエント》
　ローレンツ変換によって各世界点での値が不変なスカラー量である４次元座標に対する連続関数φの４元グラジエントは（共変型の）４元ベクトルである。

実際、スカラーφの微分量dφはスカラーであるが、この量は以下の式のように、この４元グラジエント∂φと（反変型の）４元ベクトルｄｘi の積であらわされる。そのため、この４元グラジエント∂φが（共変型の）ベクトルであることが確かめられる。

微分演算子∂i は（共変型の）ベクトルとみなせる。そのため、以下の式のような、この演算子∂i と（反変型の）４元ベクトルＡi との積はスカラーになる。　

《４次元空間での積分の形》
　３次元空間では積分は、体積、面積、線分で行なうことができる。４次元空間では、以下の４つの型の積分が可能である。

《(1)４次元空間のなかの曲線のうえの積分》
　積分要素は弧長の要素である動径４元ベクトルdｘi である。

《(2)４次元空間のなかの（２次元）曲面のうえの積分》
　３次元空間のなかの（２次元）曲面のうえの微小面積要素のXY平面への射影の面積ΔSxyは下図のようになる。

そして、３次元空間での立体的な微小面積要素は、３つの座標平面への射影の面積を成分とする３次元のベクトル（ΔSyz,ΔSzx,ΔSxy)＝ｄＳm であらわされる。

　４次元空間のなかの（２次元）曲面のうえの微小面積要素ｄｆik も、４次元空間での６つの座標平面への射影の面積（６つ）を成分とする６次元のベクトルであらわされる。（２つの基底の組合せ(ei)⊗(ek)であらわす面要素も、ベクトル空間の基底であり、その組合せ基底(ei)⊗(ek)の数がそのベクトル空間の次元である）。第１のベクトルと第２のベクトルの張る面積の、６つの座標平面への射影は以下のように計算できる。例えば、１つの面要素をあらわす複合基底(e1)⊗(e2)の係数は、以下の式で計算できる。単独基底(e1)と(e2)を基底とする第１のベクトルと第２のベクトルをウェッジ積Λで掛け合わせると複合基底(e1)⊗(e2)を基底とする（面をあらわす）ベクトルになる。基底が複合基底であるベクトルをテンソルと呼ぶ。第１と第２のベクトルの順番を逆にしたウェッジ積の符号は逆になる。このように、２つのベクトルのウェッジ積で与えるテンソルは反対称テンソルである。

任意の方向を向いた２つのベクトルのウェッジ積を計算すると、速やかに、６つの座標平面への射影の６つの複合基底(ei)⊗(ek)と係数dｆik の積の和であらわすことができる。微小面積要素ｄｆik は反対称テンソルである。なお、ベクトルで注意すべきことは、ベクトルは、基底ei （(ei)⊗(ek)という複合基底を持つベクトルはテンソルと呼ばれる）と係数ｘi （またはｆik ）とのセットだということです。

《第１のポイント》
　先ず、以下の擬テンソルεについて、添字の上げ下げはテンソルと同様にできる。そのため、以下の式の関係が成り立っている。

《第２のポイント》
　次に、ホッジの星印作用素*（定義に注意）に関する以下の式が成り立っている。

　また、以下の式の関係が成り立っている。

（注意）なお、ホッジの星印作用素を２重に作用させた場合に、以下の例のように、元の要素の符号が変わってしまい元に戻らない場合がある（いつもそうであるとは限らない）ことに注意。

　ランダウの式6.12の記述には、どの項が星印作用素であるかが明示されてない（ホッジの星印作用素の場合は、どの項が星印作用素であるかによって式の符号が逆になる）あいまいさがある。§6の文脈の示唆から式を解釈すると、式6.12は、下記の(6.12)のように星印作用素の項を持った式であると解釈される。

式6.12は、星印作用素との関係があいまいな式である。また、ホッジ双対の写像関係の正しい定義は、同じ上付き記号の微分のウェッジ積であらわした基底の間の関係であるが、ランダウの「対偶」の定義では、ホッジの星印作用素の項の添え字の上付きと下付きを逆に表現していることに注意すべきである。そして、更に式の符号が逆に定義されていると考えられる。
　以降の説明をスッキリさせるため、この際に、式6.12の表現を明確に定義する。

このランダウ「対偶」の定義は、以下の定義だと考えるとわかりやすいと思う。

　問題を簡単化するために、再度、３次元空間に戻って考える。

３次元空間では、この反対称テンソルdｆik のかわりに、以下のように、この反対称テンソルdｆik の対偶（ホッジ双対 Hodge）の３次元ベクトルｄＳm を、エディントンのイプシロンεmik を使って計算して、その対偶（ホッジ双対）ベクトルｄSm に微小面積要素を代表させている。

これは、面積要素の法線方向を持つベクトルである。そして、ベクトルｄSm の絶対値がこの微小面積要素の面積に等しい。
　４次元空間では、テンソルｄｆik に対してはそういう法線ベクトルを作ることはできないが、４次元用のエディントンのイプシロンεmpik を使って計算して、そのテンソルｄｆik の対偶（ホッジ双対の定義とは左辺の星印作用素の項の添え字の上下が逆ではあるが）テンソルｄｆ*mp を作ることはできる。

この対偶テンソルｄｆ*mp は、2次形式から 2次形式に写像したホッジ双対なテンソルである。

　以降の説明をスッキリさせるため、この際に、誤りを正しておこうと思う。この式6.11の正しい定義は、以下の定義だと考える。

このランダウ「対偶」の定義は、以下の定義だと考えるとわかりやすいと思う。

そのために、ホッジの星印作用素を以下の式で定義する。

（注意）ランダウの§6の「対偶」の定義は、ホッジの星印作用素の項の添え字の上付きと下付きを逆に表現しているので、ランダウの対偶の定義を具体的にリストアップすると、以下の関係が成り立つ。
　ホッジの星印作用素を２重に作用させた場合に、元の要素の符号が変わってしまい元に戻らない場合がある。ランダウが§6で定義する「対偶」（定義を正しく修正したもの）でも、２重に作用させた場合に元に戻らない場合がある。
《以下は、ランダウの「対偶」の演算のリストである》

　微小面積要素をあらわすテンソルの６つの基底が６次元ベクトルを構成する。ホッジ双対（Hodge）（対偶）な面積要素dｆ*mp のベクトルは、面積要素ｄｆik の６次元ベクトルに垂直な６次元ベクトルであらわされる。この微小面積要素のホッジ双対（対偶）への変換操作は、１つの選択肢としては、以下の座標変換を行なうことによって実現できる。

この座標変換を対偶の具体的変換として行なうならば、全てのベクトルが、それに垂直なベクトルに変換される。微小面積要素の対偶の要素を作る具体的座標変換の選択肢がその他にも種々考えられるが、いずれの座標変換でも、全てのベクトルが、それに垂直なベクトルに変換されると思う。

　対偶（ホッジ双対）を作る座標変換にどの選択肢を選ぶ場合でも、面要素dｆik 上の線分の方向は、その面要素のホッジ双対な面要素dｆ*mp 上の線分に垂直であることを、以下で考察する。先ず、(X,Y,Z,W)の４次元における面要素の方向は、XY平面、XZ平面、YZ平面、XW平面、YW平面、ZW平面との６つがあるので、面要素の方向をあらわす反対称テンソルｄｆik の成分の集合は６次元ベクトルであらわされる。元の面要素dｆik が６次元ベクトルの１つの成分のみであらわされるように、その面要素がＸ軸とＹ軸が張るXY平面に平行になるようにＸＹＺＷ座標軸を定めてベクトルの基底（基底とする面要素の方向）を対角化する。

XY平面に平行な面要素dｆxy のホッジ双対な面要素dｆ*mp が、エディントンのイプシロンεmpik を使ってあらわされると、その面要素dｆ*mk はＸ軸にもＹ軸にも垂直な２つの軸のＺ軸とＷ軸の張るZW平面に平行な面要素dｆ*zw になる。（XY平面に平行な面要素ｄｆxy に垂直な５つの平面の、ＸＺ平面、ＹＺ平面、ＸＷ平面、ＹＷ平面、ＺＷ平面、のうちの１つのみが選ばれる）。

（１）面要素dｆxy と面要素dｆ*zw は互いに垂直であるため、面要素dｆik をあらわす（６つの平面を成分とする）６次元ベクトルと、ホッジ双対な面要素dｆ*mk をあらわす６次元ベクトルの内積は０になる。
（２）しかも、それだけでは無く、面要素dｆik を張るＸＹ軸のいずれにも垂直な軸がホッジ双対な要素の軸として選ばれる。３次元空間では、それはZ軸１つだけであったが、４次元空間では、それにはZ軸とＷ軸との２つの軸がある。その２つの軸で張るＺＷ平面が、ホッジ双対な面要素dｆ*mk の面になる。そのように、ホッジ双対では、元の面要素のうえのどの線分にも垂直（それが含む全ての線分が垂直）な軸で構成される面要素dｆ*mk を選ぶのである。
　実際、以下の計算によって、面要素のテンソル（６次元ベクトル）同士の内積を計算すると値が０になる。
　ここで、以下の、反対称テンソルと対称テンソルの積が０になる公式を利用して計算する。

この公式を使って、以下で、面要素のテンソル（６次元ベクトル）同士の内積を計算する。

このように、内積の値が０になる。内積が０になるため、元の面要素dｆik と、ホッジ双対な面要素dｆ*mk が、少なくとも互いに垂直であることがわかる。しかも、それだけでは無く、面要素dｆik のうえのどの線分も、ホッジ双対な面要素のうえの任意の線分に垂直になる。

　ちなみに、平行四辺形の面要素dｆik の面積は、その面要素を張る２つのベクトルの長さの積と、その２つのベクトルの間の角度θの正弦 sinθとの積であらわされる。それ以外のその面積の計算方法としては、以下のように、面要素dｆik 同士の内積でも計算できる。ただし、その内積は、法線が表面側と裏面側の面を数えるので面積が２重に足される計算になるので、面要素dｆik の面積の２乗の２倍になることに注意する必要がある。

以上の計算の最後の段階での、４元ベクトルｄｒの２乗や４元ベクトルｄｕの２乗の項は、相対論的４次元空間における共変型４元ベクトルと反変型４元ベクトルの内積としてのベクトルの２乗（ローレンツ変換によって変わらない不変量）をあらわしていると解釈して欲しい。すなわち、以上の計算は、４元ベクトルｄｒと４元ベクトルｄｕの張る微小面積要素の相対論的な２乗の値としての（ローレンツ変換によって変わらない）スカラー値を計算している。

《(3)４次元空間のなかの超曲面、すなわち、３次元多様体のうえの積分》
　３次元空間でも、４次元空間でも、３つのベクトルの張る平行６面体の体積は、２つのベクトルの張る面積に、その面に垂直方向の、３つ目のベクトルの高さの積で与えられる。３次元空間では、その体積は、３つの３次元ベクトルの成分から作られる３行３列の行列式に等しい。（行列式の値は正にも負にもなり得ることに注意）。４次元空間では、超曲面に平行で互いに直交する３つの基底ベクトルXk ,Xm ,Xp への、微小体積要素を張る３つのベクトルからの射影（１つのベクトル毎に３つの基底への射影の３つの成分）を求める。そして、その射影の成分から作られる３行３列の行列式が微小体積要素の体積をあらわす。３つの基底ベクトルを基準にした体積（超面積）なので、その行列式の体積をｄＳkmp というテンソルであらわす。特に超曲面上の積分要素としては、テンソルｄＳkmp にホッジ双対な４元ベクトルｄＳi を使うのが便利である。
　以下で４元ベクトルｄＳi を計算する。ｄＳi はランダウの表現を用い、ホッジの星形作用素の添え字の上付きと下付きを逆に表現する。６節の式6.12の定義は正しく修正した定義に従う。

ここで、ｄSkmp は、ｋ方向の４元ベクトルとｍ方向の４元ベクトルとｐ方向の４元ベクトルの張る各方向に作用する体積を行列式であらわすので、添え字k,m,pを入れ替えると体積の値の正負が逆転する。そういうクセのあるものを積分の演算子として使う。そのdSkmp という積分の演算子を、各方向毎の積分の演算子をウェッジ積Λでつないであらわした３方向での積分の演算子であらわすことにする。ｄSkmp の持つ、添え字の入れ替えで正負が逆転する性質、と同じ性質を持たせるために、ウェッジ積でつないだ演算子の列ｄ(ｘk) Λｄ(ｘm) Λｄ(ｘp) は、積の順序を入れ替えるとマイナス符号が付く。

微小体積要素のテンソルｄSkmp にホッジ双対な４元ベクトルｄSi の方向は、微小体積要素の積分の各演算子のあらわす積分方向のｋ軸m軸p軸の各方向に垂直である。積分演算のテンソルｄＳkmp の面上の全ての直線の方向は、i 軸に垂直である。
　ここで、基準軸i ,軸k ,軸m ,軸p であらわした超曲面のテンソル及び４元ベクトルの成分を、基準軸WXYZ軸でのテンソル成分およびベクトル成分に書き直して考える。そのように基準軸を変えて書き直したテンソルの成分と４元ベクトルの成分の間でも上の式(6.12)が成り立つ。基準軸の変更によって４元ベクトルｄＳi はＷ軸Ｘ軸Ｙ軸Ｚ軸へ射影した成分のｄＳ0 ,ｄＳ1 ,ｄＳ2 ,ｄＳ3 であらわされる。超平面の微小超面積要素をあらわすテンソルの成分も、その微小超面積要素のXYZ超平面への射影、WXY超平面への射影、WYZ超平面への射影、WZX超平面への射影の成分に書き直される。それらのＷＸＹＺ軸を基準にした４元ベクトルやテンソルの成分は、以下のようにあらわされる。

幾何学的には、この４元ベクトルｄSi の絶対値は超曲面要素の"面積"に等しく、方向はこの超曲面要素を張る３つの座標軸に垂直な法線方向に一致する。ｄS0＝dxdydzは、明らかにX軸とY軸とZ軸が張る超平面の法線方向のW軸（ct軸）への、４元ベクトルｄＳi の射影に等しい。

《相対論的４元ベクトルが問題を難しくしている》
　相対論的４元ベクトルが４次元ベクトルとテンソルの計算を難しくしていることを注意しておく。相対論的な４元ベクトルとテンソルの扱いは、単純な４次元空間のベクトルおよびテンソルと扱いが異なる。先ず、ベクトルの長さの２乗の計算が異なる。しかしながら、両者とも同じく、微小体積要素をあらわすテンソルｄSkmp は反対称テンソルである。

《(4)４次元の体積にわたる積分》
　積分要素は４次元体積要素である。

この要素の値はローレンツ変換によって変わらないスカラーである。４次元空間のある部分の体積は、座標軸の回転変換およびローレンツ変換（これも広い意味での座標軸の回転変換の一種である）に対して不変である。
　ただし、詳しくは、下図のように、４次元空間で４つの４元ベクトルｒi ,ｕk ,ｂm ,ｈp が張る微小体積は、以下の式のように、反対称テンソルのエディントンのイプシロンを使った４行４列の行列式で体積の値が計算される。その微小体積の値は座標の置き換えによって値が変る偽スカラーである。

《微分形式の目次》《微分形式》《多様体上の１次微分形式》《多様体上の微分形式とその外微分》《微分形式のいくつかの性質》《境界付き多様体とStokesの定理》
（ここをクリックした先のサイトも参考になる）
　ここで、積分のための座標の微小量ｄＸ0 ＝ｃｄｔや、ｄＸ1 ＝ｄｘやｄＸ2＝ｄｙやｄX3 =ｄｚを、微小な積分の体積部分ｄSkmp が行列式であらわされることに対応させ、微小体積部分の各方向のベクトルに対応する積分の演算子にする。異なる座標の方向のこれらの積分の演算子を外積で組み合わせた複数次元での積分演算子を作る。すなわちｄSkmp に対応する複数次元での積分演算子を、各座標方向の積分演算子をくさび積Λ（wedge積）で結んだ微分形式であらわす。

そのくさび積の演算子の列（微分形式）があらわす微小な複数次元の面積（あるいは体積）は、正の数で把握される積分範囲の微小面積に対する比が±１になる。くさび積があらわす微小面積の値が、積分の正の値の微小領域に対する比が１であったり、（－１）であったりする。その面積の値の比が±１で変動するのを打ち消すように値が正と負になるように微分形式の値を定める。そうすると、以下の関係がある。

《４次元座標の連続関数に関するガウスの発散定理》
　３次元空間でのガウスの発散定理は以下の式の定理であった。

左右の辺を移項して書くと以下の式であらわせる。

体積を包む閉じた曲面のうえの積分を、積分要素ｄSi を以下の演算子でおきかえることによって、その曲面に包まれる体積についての積分に転換する定理である。

この定理を参考にして、それを４次元空間に拡張した積分を以下のように計算する。先ず、微小超曲面のウェッジ積にホッジ双対な４元ベクトルｄＳi の方向を、４次元体積の領域を包む４次元超曲面の外側に向けて積分する。また、ウェッジ積が積分要素の積の順序の入れ替えによって値の符号を変える反対称テンソルであること、４次元体積要素をあらわすウェッジ積の符号に注意しつつ計算する。
　

以上の計算をまとめると、以下の結論になる。

このように、４次元の体積を包む閉じた超曲面のうえの積分を、積分要素ｄSi を以下の演算子でおきかえることによって、その超曲面に包まれる４次元体積についての積分に転換できる。

ここでの４次元の体積での積分は、５次元以上の空間内で凹凸がある４次元空間を体積積分しているわけではない。凹凸が無い平坦な４次元空間での体積積分である。そのため、次に説明する４次元空間内で凹凸のある超曲面での積分の場合とは異なり、例えば３２節で４次元空間でテンソルを積分する場合へ定理を適用する場合であっても、そのテンソルが反対称テンソルに限定されるという制約も無い。この定理は、反対称テンソルの使用に限定される微分形式の定理よりも緩い条件で適用できる定理である。

《４次元座標での３次元超曲面での積分を、超曲面を包む２次元面での積分に変換する定理》

　式6.17に係る定理で用いるホッジ星印作用素*は以下のように定義される。

　以下の計算によって、反対称テンソルAik に関する式6.17の定理を導き出す。ただし、式6.11の「対偶」の元の定義使うと、式6.17とは符号が異なる解が得られる。式6.17が符号が異ならずに成り立つために、式6.11の「対偶」の定義を修正した定義を使って計算する。

すなわち、ｘ1方向の境界点を含む(ｄｘ2)(ｄｘ3)面で境界積分する。

（注意）この式の最後の行では、４次元超曲面（３次元体積）ｄS0 を包む２次元面ｄｆ*01 での積分の式という積分の形になる。その積分は、４次元超曲面（３次元体積）ｄS0 を包む全ての面での積分では無い。X1方向に垂直な面の面の方向での２次元面ｄｆ*01 の面（ｄX2, ｄX3の張る面＝ｄX0 に垂直、かつ、ｄX1 に垂直な面）の方向だけで包む２次元面での積分である。

すなわち、ｘ0 軸方向に垂直である４次元超曲面ｄ(Ｓ0) の全表面のうちの一部だけを包む（ｄ(Ｘ1),ｄ(Ｘ2) の張る面の側は包まず、ｄ(X1),d(X3)の張る面の側も包まない）２次元面での積分をあらわしている。（参考ページが、ここをクリックした先にある）４次元的超曲面（３次元体積）での積分を、その４次元的超曲面（３次元体積）の端の超境界線（２次元面）での超線積分（２次元面積分）に変換する境界の位置の具体例がここをクリックした先にある。

すなわち、ｘ2方向の境界点を含む(ｄｘ3)(ｄｘ1)面で境界積分する。

すなわち、ｘ3方向の境界点を含む(ｄｘ1)(ｄｘ2)面で境界積分する。

　以上の３つをまとめると、反対称テンソルAik に関するｄＳ0による積分の公式（h=0の場合の、以下で与える公式(1)および公式(2)）になる。その公式は、ベクトルA0kに関する３次元空間でのガウスの発散定理と同じ定理になる。この公式を理解するためには、ホッジの星印作用素の式を含む一連の式は無くても良い。　
　例えば、以下のように公式を把握した方が良い。

次の場合の積分の計算を続ける。

すなわち、ｘ2方向の境界点を含む(ｄｘ0)(ｄｘ3)面で境界積分する。

すなわち、ｘ3方向の境界点を含む(ｄｘ2)(ｄｘ0)面で境界積分する。

すなわち、ｘ3方向の境界点を含む(ｄｘ0)(ｄｘ1)面で境界積分する。

　以上の計算をまとめると、h=0,1,2,3 の４つのｈの１つずつに成り立つ以下の各式（hを１つの値に固定した１つ式が、ｈの値に応じて４つある）であらわされる公式が成り立つ。

（注意はじめ）
　この最後の式では、公式(1)と公式(2)との２つの積分の右辺の和を２で割った公式にした。ｄｆ*kh という面積分は、ｋ方向とｈ方向とに垂直な他の２つの方向のベクトルが張る面で積分する。その積分面は、ｄ(Ｓh) という超曲面に垂直な２次元面であって、更に、その超曲面内から超曲面の境界を横断するｋ方向にも垂直な２次元面であって、かつ、超曲面の、任意のｋ方向の端の境界点を含む２次元面で積分することを意味する。任意のｋ方向の端の境界点の集合が超曲面を包み、積分面を構成する。
（注意おわり）

　上の（ｈの値に応じた）４つの式の和をとれば（全てのｈの値で和をとった）以下の式が成り立ちはするが、以下の式よりも、ｈの値に応じた上記の４つの公式の１つ１つに分けた公式を把握する方が望ましいと考える。

そうする方がｄｆ*hk での面積積分の具体的積分範囲が明確に定義されるので、計算の見通しが良いからである。

《凹凸のある超曲面での積分の定理に拡張》
　また、４次元空間内で凹凸のある超曲面が、微小な積分領域ｄSi 同士を境界を重ね合わせて形成できる。その境界でつないだ両ｄSi の、その境界での境界積分の値は正負が逆になる。そのため重ね合わせた境界での積分の値は相殺される。そして、境界で重ね合わせて連結した積分領域の露出する境界での境界積分のみが残る。そのため、超曲面に４次元空間内での凹凸があっても平坦な積分領域と同じく、超曲面での超面積積分（体積積分）が境界積分（面積積分）に変換される関係があると考えられる。
　実際、そのようになっているかどうかを、以下の、(ｄｘ0)Λ(ｄｘ1) 面に垂直な３つの超平面を境界ｂと境界ｃで連結して構成した超曲面を例にして、具体的に計算して確認する。

　このうち、境界ｂで接続する２つの部分を具体的にあらわす。境界ａから境界ｂまでの部分（ｄS0 のみがある）は以下の形である。

境界ｂから境界ｃまでの部分（ｄS1 のみがある）は以下の形である。

　境界ｂは境界面ＡＢＣＤである。この境界面ＡＢＣＤを重ねて、上図のａｂの部分がｘ1 方向で接続し、ｂｃの部分がｘ0 方向で接続することがわかる。境界面ＡＢＣＤは、ａｂ部分直方体の外側を向いた左回りの表面であり、ｂｃ部分直方体の内側を向いた左回りの境界面であることが分かる。そのため、境界面ＡＢＣＤに対してａｂ部分とｂｃ部分が互いに反対側で接続していることがわかる。
　先ず、左端の境界ａから境界ｂまでの部分を計算する。

ｋ，ｍ＝0,2の部分も以下のように計算できる。

また、ｋ，ｍ＝0,3の部分も以下のように計算できる。

　次に、境界ｂから境界ｃまでの部分を計算する。

ｋ，ｍ＝1,2の部分も以下のように計算できる。

ｋ，ｍ＝1,3の部分も以下のように計算できる。

　次に、境界ｃから右端の境界ｄまでの部分を計算する。

この計算だけで無く、ｋ，ｍ＝0,2の部分も計算し、ｋ，ｍ＝0,3の部分も計算するが、その説明は省略する。
　以上の３つの部分を合わせた、４次元的空間内で凹凸のある超曲面での積分の結果は以下の式にまとまる。（なお、積分の要素のｄSk は、超曲面に存在する部分のｄSk のみである）。

ここで、テンソルＡkm が反対称テンソルなので、以下の関係が成り立つ。

そのため、以下の関係が成り立つ。

以上の計算では、境界での積分は、境界ｂと境界ｃが相殺されて消え、残った境界のみの積分になった。こうして、超曲面に４次元空間内での凹凸がある場合も平坦な積分領域での計算と同じく、超曲面での超面積積分（体積積分）が境界積分（面積積分）に変換される関係がある。
　この関係が成り立つのは、テンソルＡkm が反対称テンソルであるからである。テンソルＡkm が対称テンソルの場合はこれは成り立たない。超曲面に４次元空間内での凹凸がある場合には、テンソルＡkm が反対称テンソルであることがこの公式の必須条件である。具体例で考えたことで、この条件の必然性がハッキリ分かった。こういう公式の意味がハッキリわかるので、公式を具体例で確かめるということは止められないと思う。

　この公式は、以下の微分形式であらわす定理の系である（ここで、∂Sは境界での積分をあらわす）。（ここをクリックした先のサイトが参考になる）。

(6.17)

（注意）ここで、微分形式の定理を使うためにテンソルＡik が反対称テンソルであることが必要であった。４次元空間内で凹凸のある超曲面において一般的に成り立つ定理のためにＡik が反対称テンソルであることが必要だったのである。しかし、４次元空間内で凹凸の無い平坦な超曲面のみでは、テンソルＡik が反対称テンソルである必要が無いことに注意すべきである。その理由により、４次元空間内で凹凸のあるわけでは無い４次元体積での積分にかかわる４次元でのガウスの発散定理においては、その定理でテンソルＡik を使う場合でも、そのテンソルは反対称テンソルで無くても定理が成り立つ。
（注意おわり）

　以上で得た式6.17の解は式6.11の符号を変えて定義を修正しないと符号が異なってしまう。この６節の一連の公式が成り立つためには、ランダウの「対偶」の定義の式6.11とその他の式を、ホッジの星印作用素の式から符号を変えて定義する必要がある。すなわち、以下のように定義する必要がある。
《ランダウの「対偶」の定義の修正》